Questão 7: O conjunto W=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0 e 2 x+y=0 com as operações usuais de R^3 é espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y,z)inR^3mid x+y+z=0;e;2x+y=0
e pergunta se, com as operações usuais de R^3, W é um espaço vetorial (ou seja, um subespaço de R^3). Para isso, vamos resolver o sistema linear que define W e mostrar que ele se reduz a uma combinação linear de um vetor base.

Passo 2

Resolvendo as equações
2x+y=0
e
x+y+z=0,
da primeira temos y=-2x. Substituindo em x+y+z=0
x-2x+z=0Rightarrow -x+z=0Rightarrow z=x
Logo todo vetor de W é da forma
(x,y,z) = (x,-2x,x) = x,(1,-2,1)

Passo 3

Isso mostra que
W=,t,(1,-2,1)mid tinR=span(1,-2,1)
Como todo span contém o vetor zero (tomando t=0) e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W é de fato um subespaço vetorial de R^3.

Resposta

Sim. W é um espaço vetorial (subespaço de R^3) de dimensão 1, com base (1,-2,1).

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