Por qual matriz elementar devemos multiplicar
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right]
para obter a matriz
B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ -3 & -4 & -8 \\\\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right] ?

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a matriz elementar E tal que, ao multiplicá-la pela esquerda em
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right],
obtém-se
B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ -3 & -4 & -8 \\\\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right].
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Linha 1 de \(A\) é }(1,\;2,\;3)\text{ e em \(B\) continua }(1,\;2,\;3).\\ &\text{Linha 2 de \(A\) é }(0,\;2,\;1)\text{ e em \(B\) é }(-3,\;-4,\;-8).\\ &\text{Linha 3 de \(A\) é }(1,\;0,\;3)\text{ e em \(B\) continua }(1,\;0,\;3). \end{aligned}éééé
Portanto só a segunda linha mudou; as linhas 1 e 3 permaneceram iguais.

Passo 2

O que é uma matriz elementar e como ela age: uma matriz elementar E é uma matriz obtida ao aplicar uma única operação elementar de linha na matriz identidade. Multiplicar uma matriz A pela esquerda por E corresponde a aplicar essa mesma operação de linha em A. Operações de linha do tipo
\text{R}_i \leftarrow \text{R}_i + k\,\text{R}_j
correspondem à matriz identidade com um k colocado na posição (i,j). Ou seja, para uma matriz 3\times3, a matriz elementar que faz \text{R}_i \leftarrow \text{R}_i + k\,\text{R}_j é
E = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & k & 1\\[4pt] \vdots & \ddots & \vdots \end{array}\right],
onde o k fica na linha i e coluna j, e as demais entradas seguem a identidade.]

Passo 3

Identificar a operação de linha necessária: queremos transformar a segunda linha de A, que é (0,\;2,\;1), em (-3,\;-4,\;-8) sem alterar as linhas 1 e 3. Vamos tentar escrever a nova linha 2 como combinação linear das linhas originais de A. Testando a combinação
-3\cdot\text{R}_1 + 1\cdot\text{R}_2 + 0\cdot\text{R}_3
onde \text{R}_1=(1,2,3) e \text{R}_2=(0,2,1), calculamos:
-3\cdot(1,2,3) + (0,2,1) = (-3,-6,-9) + (0,2,1) = (-3,-4,-8),
que coincide exatamente com a linha 2 de B. Logo a operação necessária é
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 3\,\text{R}_1.

Passo 4

Construir a matriz elementar correspondente: aplicar a operação \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 3\,\text{R}_1 na identidade I_3 significa colocar -3 na posição (2,1) de I_3. Assim a matriz elementar é
E=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ -3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Verificação por multiplicação: multiplicando E por A pela esquerda, cada linha do produto é a combinação linear das linhas de A indicada pelas linhas de E.
Linha 1 de EA:
1\cdot\text{R}_1 + 0\cdot\text{R}_2 + 0\cdot\text{R}_3 = (1,2,3).
Linha 2 de EA:
-3\cdot\text{R}_1 + 1\cdot\text{R}_2 + 0\cdot\text{R}_3 = -3(1,2,3) + (0,2,1) = (-3,-4,-8).
Linha 3 de EA:
0\cdot\text{R}_1 + 0\cdot\text{R}_2 + 1\cdot\text{R}_3 = (1,0,3).
Portanto
EA=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ -3 & -4 & -8 \\\\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right]=B,
confirmando que E é a matriz elementar buscada.

Resposta

\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ -3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

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