\begin{aligned} &\text{Linha 1 de \(A\) é }(1,\;2,\;3)\text{ e em \(B\) continua }(1,\;2,\;3).\\ &\text{Linha 2 de \(A\) é }(0,\;2,\;1)\text{ e em \(B\) é }(-3,\;-4,\;-8).\\ &\text{Linha 3 de \(A\) é }(1,\;0,\;3)\text{ e em \(B\) continua }(1,\;0,\;3). \end{aligned}éééé
Portanto só a segunda linha mudou; as linhas 1 e 3 permaneceram iguais.
Passo 2
O que é uma matriz elementar e como ela age: uma matriz elementar E é uma matriz obtida ao aplicar uma única operação elementar de linha na matriz identidade. Multiplicar uma matriz A pela esquerda por E corresponde a aplicar essa mesma operação de linha em A. Operações de linha do tipo
\text{R}_i \leftarrow \text{R}_i + k\,\text{R}_j
correspondem à matriz identidade com um k colocado na posição (i,j). Ou seja, para uma matriz 3\times3, a matriz elementar que faz \text{R}_i \leftarrow \text{R}_i + k\,\text{R}_j é
onde o k fica na linha i e coluna j, e as demais entradas seguem a identidade.]
Passo 3
Identificar a operação de linha necessária: queremos transformar a segunda linha de A, que é (0,\;2,\;1), em (-3,\;-4,\;-8) sem alterar as linhas 1 e 3. Vamos tentar escrever a nova linha 2 como combinação linear das linhas originais de A. Testando a combinação
que coincide exatamente com a linha 2 de B. Logo a operação necessária é
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 3\,\text{R}_1.
Passo 4
Construir a matriz elementar correspondente: aplicar a operação \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 3\,\text{R}_1 na identidade I_3 significa colocar -3 na posição (2,1) de I_3. Assim a matriz elementar é
Verificação por multiplicação: multiplicando E por A pela esquerda, cada linha do produto é a combinação linear das linhas de A indicada pelas linhas de E.
Linha 1 de EA: