Usando as propriedades de determinantes, mostre que:
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc} 1 & a & b c \\\\ 1 & b & a c \\\\ 1 & c & a b \end{array}\right]=\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc} 1 & a & a^{2} \\\\ 1 & b & b^{2} \\\\ 1 & c & c^{2} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as duas determinantes abaixo são iguais:
\det\begin{bmatrix} 1 & a & b c \\\\ 1 & b & a c \\\\ 1 & c & a b \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\\\ 1 & b & b^{2} \\\\ 1 & c & c^{2} \end{bmatrix}.
As informações que temos são as duas matrizes explícitas dependentes das variáveis a,b,c. Não há mais dados escondidos: queremos provar a identidade para todos a,b,c.

Passo 2

Vou estudar a função da variável a dada pela diferença entre os dois determinantes. Defino
D(a)=\det\begin{bmatrix} 1 & a & b c \\\\ 1 & b & a c \\\\ 1 & c & a b \end{bmatrix} - \det\begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\\\ 1 & b & b^{2} \\\\ 1 & c & c^{2} \end{bmatrix}.
Explico por que isso é uma boa ideia: se eu mostrar que D(a) é o polinômio nulo (isto é, D(a)\equiv 0 para todo a), então os determinantes são iguais para todo a. Agora vou analisar o grau de D(a) como polinômio em a.

Passo 3

Mostro que D(a) é um polinômio em a de grau no máximo 2.
Raciocínio: o determinante de uma matriz 3\times3 é soma de produtos de três entradaseach produto contém, em cada linha, exatamente uma entrada escolhida. Nas duas matrizes, em cada linha no máximo duas das entradas dependem de a (por exemplo, na primeira matriz a dependência aparece em colunas 2 e, em algumas linhas, coluna 3; na segunda matriz as dependências vão até a^2 em uma entrada). Portanto, em qualquer termo do desenvolvimento do determinante haverá no máximo dois fatores que contêm a, o que garante que cada determinante é um polinômio em a de grau no máximo 2. Logo D(a) também tem grau no máximo 2.

Passo 4

Vou mostrar que D(a) tem três raízes distintas: a=0, a=b e a=c. Isso implica que D(a) é o polinômio identicamente zero (um polinômio de grau \le2 com três raízes distintas só pode ser o polinômio nulo).
Primeiro, a=b. Se a=b, nas duas matrizes as linhas 1 e 2 ficam idênticas:
  • Na primeira matriz, para a=b temos linha 1 [1,a,bc] e linha 2 [1,a,ac]. Mas como a=b a terceira entrada de ambas é a c, logo linha 1 = linha 2.
  • Na segunda matriz, para a=b também linha 1 e linha 2 coincidem ( [1,a,a^2] e [1,a,a^2]).
    Quando uma matriz tem duas linhas iguais, seu determinante é 0. Portanto ambas as determinantes são zero e assim D(b)=0.
Segundo, a=c. Mesma argumentação: para a=c as linhas 1 e 3 coincidem em ambas as matrizes, então ambos os determinantes valem 0. Portanto D\text{(c)}=0.
Terceiro, a=0. Aqui vou calcular os dois determinantes e mostrar que coincidem para a=0.
Calculo do determinante da primeira matriz quando a=0:
\det\begin{bmatrix} 1 & 0 & b c \\\\ 1 & b & 0 \\\\ 1 & c & 0 \end{bmatrix}.
Faço as operações R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1 (essas operações não alteram o valor do determinante quando subtraímos uma linha de outra):
\begin{bmatrix} 1 & 0 & b c \\\\ 0 & b & -b c \\\\ 0 & c & -b c \end{bmatrix}.
Expandindo pelo primeiro elemento da primeira coluna (que é 1):
\det = 1\cdot\det\begin{bmatrix} b & -b c \\\ c & -b c \end{bmatrix} = b(-b c) - (-b c)c = -b^{2}c + b c^{2} = b c(c-b).
Calculo do determinante da segunda matriz quando a=0:
\det\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & b & b^{2} \\\\ 1 & c & c^{2} \end{bmatrix}.
De novo aplico R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1:
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & b & b^{2} \\\\ 0 & c & c^{2} \end{bmatrix}.
Expandindo pelo primeiro elemento da primeira coluna:
\det = 1\cdot\det\begin{bmatrix} b & b^{2} \\\ c & c^{2} \end{bmatrix} = b c^{2} - b^{2} c = b c(c-b).
Portanto os dois determinantes coincidem em a=0, isto é, D(0)=0.

Passo 5

Temos então que D(a) é um polinômio em a de grau no máximo 2 e que D(a) tem três raízes distintas: 0,b,c. Isso só é possível se D(a) for o polinômio identicamente zero:
D(a)\equiv 0\quad\text{para todo }a.
Logo, para todo a,b,c,
\det\begin{bmatrix} 1 & a & b c \\\\ 1 & b & a c \\\\ 1 & c & a b \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\\\ 1 & b & b^{2} \\\\ 1 & c & c^{2} \end{bmatrix}.

Resposta

\det\begin{bmatrix} 1 & a & b c \\\\ 1 & b & a c \\\\ 1 & c & a b \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} 1 & a & a^{2} \\\\ 1 & b & b^{2} \\\\ 1 & c & c^{2} \end{bmatrix}

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