Os coeficientes são \;a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}\; e os termos independentes são \;b_{1},b_{2}\;.
Há a hipótese explícita \;a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\neq 0\;.
O que o problema pede: encontrar os valores de \;x\; e \;y\; que satisfazem simultaneamente as duas equações.
Passo 2
Vou usar eliminação algébrica (que é simples e direta para sistemas 2\times2) e, ao final, mostrar a relação com determinantes (regra de Cramer). A ideia da eliminação é combinar as equações de modo a cancelar uma incógnita e assim resolver a outra. A hipótese \;a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\neq 0\; garante que o processo de eliminação não gera uma igualdade impossível e que a solução é única.
Passo 3
Definimos o determinante principal do sistema:
D = a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}.
Explicando o que é isso, sem mistério: para uma matriz 2\times2
o determinante é justamente \;a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\;. A condição \;D\neq 0\; diz que essa matriz de coeficientes é invertível e o sistema tem solução única.]
Passo 4
Eliminação para encontrar \;x\;. Quero cancelar \;y\;. Multiplico a primeira equação por \;a_{22}\; e a segunda por \;a_{12}\;, assim os coeficientes de \;y\; ficam iguais e se anulam ao subtrair:
Multiplicando:
\begin{aligned} & a_{22}(a_{11} x+a_{12} y)=a_{22}b_{1}\quad\Rightarrow\quad a_{11}a_{22} x + a_{12}a_{22} y = a_{22}b_{1},\\[4pt] & a_{12}(a_{21} x+a_{22} y)=a_{12}b_{2}\quad\Rightarrow\quad a_{21}a_{12} x + a_{22}a_{12} y = a_{12}b_{2}. \end{aligned}
Agora subtraio a segunda linha da primeira (assim o termo com \;y\; cancela porque \;a_{12}a_{22}-a_{22}a_{12}=0\;):
Comentário sobre formas alternativas (regra de Cramer) e interpretação dos numeradores como determinantes: os numeradores que obtivemos podem ser vistos como determinantes de matrizes obtidas substituindo a coluna correspondente pelos termos independentes. Escrevendo isso:
Essas fórmulas são fáceis de decorar se você lembrar que o denominador é o determinante da matriz dos coeficientes e que, para cada incógnita, substitui-se a coluna correspondente por \;(b_{1},b_{2})\; para formar o determinante do numerador.