Supondo que a_{11} a_{22}-a_{21} a_{12} \neq 0, resolva o sistema abaixo nas incógnitas x e y :
\left\{\begin{array}{l} a_{11} x+a_{12} y=b_{1} \\\ a_{21} x+a_{22} y=b_{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de duas equações com duas incógnitas:
\left\{\begin{array}{l} a_{11} x+a_{12} y=b_{1} \\\ a_{21} x+a_{22} y=b_{2} \end{array}\right.
As informações relevantes são:
  • Os coeficientes são \;a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}\; e os termos independentes são \;b_{1},b_{2}\;.
  • Há a hipótese explícita \;a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\neq 0\;.
    O que o problema pede: encontrar os valores de \;x\; e \;y\; que satisfazem simultaneamente as duas equações.

Passo 2

Vou usar eliminação algébrica (que é simples e direta para sistemas 2\times2) e, ao final, mostrar a relação com determinantes (regra de Cramer). A ideia da eliminação é combinar as equações de modo a cancelar uma incógnita e assim resolver a outra. A hipótese \;a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\neq 0\; garante que o processo de eliminação não gera uma igualdade impossível e que a solução é única.

Passo 3

Definimos o determinante principal do sistema:
D = a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}.
Explicando o que é isso, sem mistério: para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},
o determinante é justamente \;a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\;. A condição \;D\neq 0\; diz que essa matriz de coeficientes é invertível e o sistema tem solução única.]

Passo 4

Eliminação para encontrar \;x\;. Quero cancelar \;y\;. Multiplico a primeira equação por \;a_{22}\; e a segunda por \;a_{12}\;, assim os coeficientes de \;y\; ficam iguais e se anulam ao subtrair:
Multiplicando:
\begin{aligned} & a_{22}(a_{11} x+a_{12} y)=a_{22}b_{1}\quad\Rightarrow\quad a_{11}a_{22} x + a_{12}a_{22} y = a_{22}b_{1},\\[4pt] & a_{12}(a_{21} x+a_{22} y)=a_{12}b_{2}\quad\Rightarrow\quad a_{21}a_{12} x + a_{22}a_{12} y = a_{12}b_{2}. \end{aligned}
Agora subtraio a segunda linha da primeira (assim o termo com \;y\; cancela porque \;a_{12}a_{22}-a_{22}a_{12}=0\;):
(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})x = a_{22}b_{1}-a_{12}b_{2}.
Como \;D=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\neq 0\;, isolamos \;x\;:
x = \frac{a_{22}b_{1}-a_{12}b_{2}}{D}.
Interpretação: o numerador é a diferença entre as combinações a_{22}b_{1} e a_{12}b_{2}; dividir por D ajusta pela escala da matriz de coeficientes.]

Passo 5

Eliminação para encontrar \;y\;. Agora quero cancelar \;x\;. Multiplico a primeira equação por \;a_{21}\; e a segunda por \;a_{11}\;:
\begin{aligned} & a_{21}(a_{11} x+a_{12} y)=a_{21}b_{1}\quad\Rightarrow\quad a_{11}a_{21} x + a_{12}a_{21} y = a_{21}b_{1},\\[4pt] & a_{11}(a_{21} x+a_{22} y)=a_{11}b_{2}\quad\Rightarrow\quad a_{21}a_{11} x + a_{22}a_{11} y = a_{11}b_{2}. \end{aligned}
Subtraio a primeira da segunda (ou a segunda da primeira, contanto que mantenha a ordem correta para o numerador), assim o termo com \;x\; some:
(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})y = a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1}.
Novamente, como \;D\neq 0\;, isolamos \;y\;:
y = \frac{a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1}}{D}.]

Passo 6

Comentário sobre formas alternativas (regra de Cramer) e interpretação dos numeradores como determinantes: os numeradores que obtivemos podem ser vistos como determinantes de matrizes obtidas substituindo a coluna correspondente pelos termos independentes. Escrevendo isso:
D_x = \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} \\[4pt] b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} = b_{1}a_{22}-b_{2}a_{12}, \qquad D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1} \\[4pt] a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} = a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1},
e a regra de Cramer dá
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D}.
Isso coincide exatamente com os resultados das eliminações feitas antes.]

Passo 7

Resumo final e observações para prova: sempre verifique primeiro se \;D=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\neq 0\;. Se sim, use as fórmulas
x=\frac{a_{22}b_{1}-a_{12}b_{2}}{D},\qquad y=\frac{a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1}}{D}.
Essas fórmulas são fáceis de decorar se você lembrar que o denominador é o determinante da matriz dos coeficientes e que, para cada incógnita, substitui-se a coluna correspondente por \;(b_{1},b_{2})\; para formar o determinante do numerador.

Resposta

x=\dfrac{a_{22}b_{1}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}
y=\dfrac{a_{11}b_{2}-a_{21}b_{1}}{a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}

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