Se a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 y \\\ x & 0 & z-1 \\\\ 4 & 3 & 2\end{array}\right) é simétrica, calcule x+y+z.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2y\\[4pt] x & 0 & z-1\\[4pt] 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}
e afirma que A é simétrica. A pergunta é: calcular x+y+z.
Informações relevantes do enunciado:
  • A matriz A tem entradas dependentes das incógnitas x,y,z nas posições indicadas.
  • A condição fornecida é que A é simétrica (isso será usada para relacionar entradas).
  • Objetivo final: obter o valor de x+y+z.]

Passo 2

O que significa uma matriz ser simétrica? Vou explicar passo a passo de um jeito bem simples.
  • Para uma matriz quadrada A, a transposta A^{T} é a matriz obtida trocando linhas por colunas: a entrada que estava na linha i, coluna j vira a entrada na linha j, coluna i.
  • Uma matriz é simétrica quando ela é igual à sua transposta, ou seja:
A = A^{T}.
  • Em termos de entradas, se chamarmos a entrada na linha i e coluna j de a_{ij}, a condição de simetria é
a_{ij} = a_{ji}\quad\text{para todo }i,j.
  • Na prática, para uma matriz 3\times3 basta igualar as três entradas fora da diagonal principal: a_{12}=a_{21}, a_{13}=a_{31} e a_{23}=a_{32}. Essas três igualdades vão nos dar equações para x,y,z.

Passo 3

Agora identifique as entradas correspondentes na matriz dada (vou escrever cada entrada em notação a_{ij}):
  • a_{11}=2, a_{12}=-1, a_{13}=2y.
  • a_{21}=x, a_{22}=0, a_{23}=z-1.
  • a_{31}=4, a_{32}=3, a_{33}=2.
Da condição de simetria, escrevemos as igualdades elemento a elemento fora da diagonal:
a_{12}=a_{21},\qquad a_{13}=a_{31},\qquad a_{23}=a_{32}.

Passo 4

Use a primeira igualdade a_{12}=a_{21}:
-1 = x.
Portanto, obtemos
x = -1.

Passo 5

Use a segunda igualdade a_{13}=a_{31}:
2y = 4.
Isolando y,
y = \frac{4}{2} = 2.

Passo 6

Use a terceira igualdade a_{23}=a_{32}:
z-1 = 3.
Isolando z,
z = 3 + 1 = 4.

Passo 7

Substituindo os valores encontrados em uma expressão para a soma:
x+y+z = (-1) + 2 + 4.

Passo 8

Cheque rápido (opcional, só para ganhar confiança): com x=-1, y=2, z=4 as entradas fora da diagonal ficam
a_{12}=-1,\\ a_{21}=-1;\qquad a_{13}=2y=4,\\ a_{31}=4;\qquad a_{23}=z-1=3,\\ a_{32}=3,
ou seja, cada par correspondente é igual, confirmando que a matriz é simétrica com esses valores.

Resposta

5

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