Resolva e classifique os sistemas, em seguida verifique se a solução encontrada está correta:
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+4 x_{2}=0 \\\\ 16 x_{1}-8 x_{2}=0 \\\\ 12 x_{1}-2 x_{2}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo com três equações e duas incógnitas:
\begin{cases} 2x_{1}+4x_{2}=0\\[4pt] 16x_{1}-8x_{2}=0\\[4pt] 12x_{1}-2x_{2}=0 \end{cases}
O que se pede:
  • Resolver o sistema (encontrar x_{1} e x_{2});
  • Classificar o sistema (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível);
  • Verificar se a solução encontrada está correta.
Informações importantes que já temos do enunciado:
  • É um sistema homogêneo (todos os termos independentes são zero).
  • São 3 equações e 2 incógnitas ( x_{1},x_{2}).]

Passo 2

Estratégia e conceitos úteis (explicados de forma prática):
  • Um sistema homogêneo pode ser escrito como A\mathbf{x}=\mathbf{0}. Sempre tem a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.
  • Para saber se existe solução não-trivial ou se a solução trivial é a única, usamos o posto (rank) da matriz A:
    • Se \text{rank}(A)= número de incógnitas ( n), então só existe a solução trivial (sistema compatível determinado).
    • Se \text{rank}(A)<n, existem infinitas soluções (compatível indeterminado).
  • Para decidir o posto aqui (matriz 3\times2), basta verificar se existem duas linhas (ou duas colunas) linearmente independentes. Uma maneira simples: calcular o determinante de uma submatriz 2\times2. Se algum desses determinantes for não nulo, o posto é 2.
  • Método de resolução direto e simples neste caso: usar substituição/eliminação a partir de uma equação fácil e verificar consistência nas outras.
Vou aplicar substituição a partir da primeira equação porque ela é simples.

Passo 3

Isolar x_{1} na primeira equação:
2x_{1}+4x_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 2x_{1}=-4x_{2}\quad\Rightarrow\quad x_{1}=-2x_{2}.

Passo 4

Substituir x_{1}=-2x_{2} na segunda equação:
16x_{1}-8x_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 16(-2x_{2})-8x_{2}=0.
Calcular o lado esquerdo:
-32x_{2}-8x_{2}=-40x_{2}=0.
Logo
-40x_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=0.

Passo 5

Com x_{2}=0, obtemos de x_{1}=-2x_{2}:
x_{1}=-2\cdot 0=0.
Portanto a solução encontrada é x_{1}=0,\;x_{2}=0.

Passo 6

Verificar a terceira equação para garantir consistência:
12x_{1}-2x_{2}=12\cdot 0 -2\cdot 0 =0,
o que satisfaz a terceira equação. Portanto o sistema é consistente.

Passo 7

Classificação via posto (explicação e cálculo rápido):
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & 4\\[4pt] 16 & -8\\[4pt] 12 & -2 \end{pmatrix}.
  • Basta encontrar uma submatriz 2\times2 com determinante não nulo para concluir que \text{rank}(A)=2. Por exemplo, usando as duas primeiras linhas:
\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt]16 & -8\end{pmatrix} =2\cdot(-8)-4\cdot 16 = -16-64 = -80 \neq 0.
  • Como \text{rank}(A)=2 e o número de incógnitas é 2, tem-se \text{rank}(A)=n. Para um sistema homogêneo isso implica que a única solução é a solução trivial.
  • Conclusão: o sistema é compatível determinado (tem solução e única).]

Passo 8

Verificação final da solução (substituição em todas as equações):
\begin{cases} 2\cdot 0 + 4\cdot 0 = 0\\[4pt] 16\cdot 0 - 8\cdot 0 = 0\\[4pt] 12\cdot 0 - 2\cdot 0 = 0 \end{cases}
Todas satisfeitas — a solução está correta.]

Resposta

Sistema compatível determinado.
x_{1}=0,\;x_{2}=0

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