Resolva e classifique os sistemas, em seguida verifique se a solução encontrada está correta: \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+4 x_{2}=0 \\\\ 16 x_{1}-8 x_{2}=0 \\\\ 12 x_{1}-2 x_{2}=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo com três equações e duas incógnitas:
Classificar o sistema (se é compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível);
Verificar se a solução encontrada está correta.
Informações importantes que já temos do enunciado:
É um sistema homogêneo (todos os termos independentes são zero).
São 3 equações e 2 incógnitas (x_{1},x_{2}).]
Passo 2
Estratégia e conceitos úteis (explicados de forma prática):
Um sistema homogêneo pode ser escrito como A\mathbf{x}=\mathbf{0}. Sempre tem a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}.
Para saber se existe solução não-trivial ou se a solução trivial é a única, usamos o posto (rank) da matriz A:
Se \text{rank}(A)= número de incógnitas (n), então só existe a solução trivial (sistema compatível determinado).
Se \text{rank}(A)<n, existem infinitas soluções (compatível indeterminado).
Para decidir o posto aqui (matriz 3\times2), basta verificar se existem duas linhas (ou duas colunas) linearmente independentes. Uma maneira simples: calcular o determinante de uma submatriz 2\times2. Se algum desses determinantes for não nulo, o posto é 2.
Método de resolução direto e simples neste caso: usar substituição/eliminação a partir de uma equação fácil e verificar consistência nas outras.
Vou aplicar substituição a partir da primeira equação porque ela é simples.
Como \text{rank}(A)=2 e o número de incógnitas é 2, tem-se \text{rank}(A)=n. Para um sistema homogêneo isso implica que a única solução é a solução trivial.
Conclusão: o sistema é compatível determinado (tem solução e única).]
Passo 8
Verificação final da solução (substituição em todas as equações):