Na matriz \left(\begin{array}{rrr}1 & x & x^{2} \\\\ 1 & 2 & 4 \\\\ 1 & -3 & 9\end{array}\right), calcule:
a) seu determinante.
b) os valores de x que anulam esse determinante.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & x & x^{2}\\\\ 1 & 2 & 4\\\\ 1 & -3 & 9 \end{pmatrix}
e pede (a) o determinante de A e (b) os valores de x que fazem \det(A)=0. Vamos usar o desenvolvimento de Laplace pela primeira linha para calcular o determinante e depois resolver a equação resultante.

Passo 2

Desenvolvendo pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2&4\\\ -3&9\end{pmatrix} -x\cdot\det\begin{pmatrix}1&4\\\ 1&9\end{pmatrix} +x^2\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&-3\end{pmatrix}.
Calculando os menores:
\det\begin{pmatrix}2&4\\\ -3&9\end{pmatrix} =2\cdot9-4\cdot(-3)=18+12=30,
\det\begin{pmatrix}1&4\\\ 1&9\end{pmatrix} =1\cdot9-4\cdot1=9-4=5,
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&-3\end{pmatrix} =1\cdot(-3)-2\cdot1=-3-2=-5.
Logo,
\det(A)=1\cdot30 - x\cdot5 + x^2\cdot(-5) =30 - 5x - 5x^2.

Passo 3

Fatoramos o polinômio
\det(A)=-5x^2-5x+30 =-5\bigl(x^2 + x - 6\bigr) =-5\,(x+3)\,(x-2).

Passo 4

Para anular o determinante, basta zerar um dos fatores:
x+3=0\quad\Longrightarrow\quad x=-3,
x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2.

Resposta

a) \det(A)=-5x^2-5x+30.
b) \;x=-3; ou \;x=2.

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