Seja S=\left(s_{i j}\right) a matriz quadrada de ordem 3,
onde \mathrm{s}_{\mathrm{ij}}=\left\{\begin{array}{l}0, \text { se } \mathrm{i}<\mathrm{j} \\\ \mathrm{i}+\mathrm{j}, \text { se } \mathrm{i}=\mathrm{j} \\\ \mathrm{i}-\mathrm{j}, \text { se } \mathrm{i}>\mathrm{j}\end{array}\right.
Calcule o valor do determinante de S .

Passo 1

O enunciado define uma matriz quadrada S=(s_{ij})\) de ordem 3 cujos elementos são \[s_{ij} = \begin{cases} 0, &\text{se } i<j,\\\ i+j, &\text{se } i=j,\\\ i-j, &\text{se } i>j. \end{cases}
Queremos calcular (\det(S)]. Para isso, vamos primeiro montar explicitamente a matriz e depois usar propriedades de determinantes.

Passo 2

Vamos encontrar linha a linha os valores de s_{ij}:
Para i=1 temos
s_{11}=1+1=2,\quad s_{12}=0,\quad s_{13}=0.
Para i=2 temos
s_{21}=2-1=1,\quad s_{22}=2+2=4,\quad s_{23}=0.
Para i=3 temos
s_{31}=3-1=2,\quad s_{32}=3-2=1,\quad s_{33}=3+3=6.
Logo a matriz S é
S = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 1 & 4 & 0\\\\ 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

Observamos que S é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Uma propriedade importante de matrizes triangulares diz que
\det(S) \;=\; \text{(produto dos elementos da diagonal principal)}.

Passo 4

Os elementos da diagonal principal são 2, 4 e 6. Logo
\det(S) = 2 \times 4 \times 6 = 48.

Resposta

48)

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