Q4: A matriz P=M\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] M^{-1},
\operatorname{com} M=\left[\begin{array}{rrrr}-3 & 2 & -1 & 4 \\\\ 1 & -4 & -1 & 4 \\\\ 3 & 3 & 1 & 3 \\\\ -1 & -1 & 5 & 1\end{array}\right],
representa uma projeção ortogonal.
A imagem de P é o subespaço:
(A) \operatorname{span}\{(-1,-1,1,5),(4,4,3,1)\}
(B) \operatorname{span}\{(-3,1,3,-1),(2,-4,3,-1)\}
(C) \operatorname{span}\{(2,-4,3,-1),(4,4,3,1)\}

Passo 1

O enunciado define
P \;=\; M \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}M^{-1}, \quad M=\begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 & 4\\\\ 1 & -4 & -1 & 4\\\\ 3 & 3 & 1 & 3\\\\ -1 & -1 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
A matriz diagonal D=\diag(1,0,1,0) tem imagem \Im(D)=\Span\{e_1,e_3\}. Como P é semelhante a D, temos
\Im(P)=M\bigl(\Im(D)\bigr).
O conteúdo de matéria é projeção em subespaço via diagonalização/similaridade.

Passo 2

Calcular a imagem de D:
\Im(D)=\Span\{e_1,e_3\}.

Passo 3

Aplicando M a esses vetores, obtemos
M e_1 = \begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix}, \quad M e_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}.
Logo
\Im(P) = \Span\{\,M e_1,\;M e_3\} = \Span\bigl\{(-3,1,3,-1),\,(-1,-1,1,5)\bigr\}.

Passo 4

Comparando com as alternativas:
(A) \Span\{(-1,-1,1,5),(4,4,3,1)\}
(B) \Span\{(-3,1,3,-1),(2,-4,3,-1)\}
(C) \Span\{(2,-4,3,-1),(4,4,3,1)\}
nenhuma contém exatamente os vetores (-3,1,3,-1) e (-1,-1,1,5) como geradores.

Resposta

A imagem de P é
\Span\{(-3,1,3,-1),\;(-1,-1,1,5)\},
que não coincide com nenhuma das alternativas dadas.

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