1. Considere a base \beta de \mathbb{R}^{3} :
    \beta=\left\{\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}.
    Sabendo que [\mathbf{v}]_{\beta}=(-3,3,2) (coordenadas de \mathbf{v} com relação à base \beta ), a 2^{\mathrm{a}} entrada de \mathbf{v} é igual a:
    (a) 3
    (b) 1

Passo 1

O enunciado dá a base
\beta = \bigl\{b_{1},b_{2},b_{3}\bigr\}
de \mathbb{R}^{3}, onde
b_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\quad b_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad b_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},
e informa que as coordenadas de \mathbf{v} nessa base são [\mathbf{v}]_{\beta}=(-3,3,2). Precisamos achar a segunda entrada (componente y) de \mathbf{v}, usando o fato de que \mathbf{v} é dada pela combinação linear das colunas de \beta.

Passo 2

Expressamos \mathbf{v} como
\mathbf{v} = -3\,b_{1} \;+\;3\,b_{2}\;+\;2\,b_{3}.

Passo 3

Para obter a segunda componente de \mathbf{v}, basta combinar as segundas componentes de b_1,b_2,b_3 com seus coeficientes:
y = -3\cdot 0 \;+\;3\cdot(-1)\;+\;2\cdot 2 = 0 -3 +4 =1.

Resposta

A segunda entrada de \mathbf{v}$ é \(1, ou seja, alternativa (b).)

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