1. Considere os planos definidos por x-y+3 z=-2 \mathrm{e} por 3 x-7 y+25 z=6, em \mathbb{R}^{3}. A interseção destes planos pode ser escrita como:
    (a) \left[\begin{array}{c}-7 \\\\ -15 \\\\ -3\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 4 \\\\ 1\end{array}\right], t \in \mathbb{R}
    (b) \left[\begin{array}{c}-7 \\\\ -15 \\\\ -3\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-2 \\\\ 6 \\\\ 1\end{array}\right], t \in \mathbb{R}
    (c) \left[\begin{array}{c}-8 \\\\ -15 \\\\ -3\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-2 \\\\ 6 \\\\ 1\end{array}\right], t \in \mathbb{R}
    (d) \left[\begin{array}{c}-8 \\\\ -15 \\\\ -3\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 4 \\\\ 1\end{array}\right], t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá dois planos em \mathbb{R}^3:
x - y + 3z = -2
3x - 7y + 25z = 6
Como a interseção de dois planos não paralelos é uma reta, vamos escrever essa reta na forma
\mathbf{r}(t) = \mathbf{P}_0 + t\,\mathbf{v},
onde \mathbf{v} é um vetor paralelo à reta (ou seja, perpendicular a ambos os vetores normais dos planos) e \mathbf{P}_0 é um ponto que satisfaz as duas equações.

Passo 2

Os vetores normais aos planos são
\mathbf{n}_1 = (1,\,-1,\,3), \quad \mathbf{n}_2 = (3,\,-7,\,25).
O vetor direção \mathbf{v} da reta é dado pelo produto vetorial
\mathbf{v} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 3\\\\ 3 & -7 & 25 \end{pmatrix} = (-4,\,-16,\,-4).
Podemos simplificar dividindo por -4, obtendo
\mathbf{v} = (1,\,4,\,1).

Passo 3

Para achar um ponto \mathbf{P}_0=(x,y,z) na interseção, basta resolver o sistema. Tomemos z=0. Então
x - y = -2, \quad 3x - 7y = 6.
Multiplicando a primeira por 3: 3x - 3y = -6. Subtraindo dessa a segunda:
(3x - 7y) - (3x -3y) = 6 - (-6) \;\Longrightarrow\; -4y = 12 \;\Longrightarrow\; y = -3,
e daí x - (-3) = -2 leva a x = -5. Logo um ponto de interseção é
\mathbf{P}_0 = (-5,\,-3,\,0).

Passo 4

A equação paramétrica da reta é
\mathbf{r}(t) = (-5,\,-3,\,0) + t\,(1,\,4,\,1).
Podemos conferir que qualquer outro ponto particular que satisfaça as duas equações difere de \mathbf{P}_0 por múltiplo de \mathbf{v}.

Passo 5

Das alternativas, apenas a que usa vetor direção (1,4,1) e um ponto que também satisfaça os dois planos é a (d). De fato, verificando \mathbf{P}_1 = (-8,-15,-3) satisfaz ambas as equações, e a direção coincide com (1,4,1).

Resposta

(d)

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