A matriz quadrada A é chamada idempotente se A^{2}=A. (A palavra idempotente vem do Latim idem, que significa “mesmo”, e potere, que significa “ter potência”. Assim algo que é idempotente tem a “mesma potência” quando elevado ao quadrado.)
(a) Ache três matrizes 2 \times 2 idempotentes.
(b) Prove que a única matriz n \times n idempotente invertível é a matriz identidade.

Passo 1

O enunciado define que uma matriz quadrada A é idempotente se
A^{2} = A.
Precisamos:
(a) apresentar três exemplos de matrizes 2\times2 que satisfaçam A^{2}=A;
(b) mostrar que, se uma matriz n\times n é idempotente e invertível, então ela só pode ser a matriz identidade.

Passo 2

Para ver exemplos de idempotentes em 2\times2, basta lembrar de projeções e dos casos trivialmente 0 e I. Três exemplos são:
A_{1} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad A_{2} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad A_{3} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Verificações:
  • A_{1}^{2} = 0 = A_{1}.
  • A_{2}^{2} = I = A_{2}.
A_{3}^{2} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}2&2\\\ 2&2\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix} = A_{3}.]

Passo 3

Agora seja A uma matriz n\times n idempotente e invertível. Então
A^{2} = A.
Multiplicando dos dois lados por A^{-1}, obtemos
A^{-1}A^{2} = A^{-1}A \quad\Longrightarrow\quad A = I.
Logo, qualquer idempotente invertível só pode ser a matriz identidade.

Resposta

(a) Três exemplos de matrizes 2\times2 idempotentes são
\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad \frac12\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
(b) Se A é idempotente e invertível, de A^2=A segue A=I, logo a única invertível é a identidade.

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