A matriz quadrada
é chamada idempotente se
. (A palavra idempotente vem do Latim idem, que significa “mesmo”, e potere, que significa “ter potência”. Assim algo que é idempotente tem a “mesma potência” quando elevado ao quadrado.)
(a) Ache três matrizes
idempotentes.
(b) Prove que a única matriz
idempotente invertível é a matriz identidade.
(a) Ache três matrizes
(b) Prove que a única matriz
Passo 1
O enunciado define que uma matriz quadrada
é idempotente se
Precisamos:
(a) apresentar três exemplos de matrizes que satisfaçam
;
(b) mostrar que, se uma matriz é idempotente e invertível, então ela só pode ser a matriz identidade.
(a) apresentar três exemplos de matrizes
(b) mostrar que, se uma matriz
Passo 2
Para ver exemplos de idempotentes em
, basta lembrar de projeções e dos casos trivialmente
e
. Três exemplos são:
Verificações:
-
. -
.
Passo 3
Agora seja
uma matriz
idempotente e invertível. Então
Multiplicando dos dois lados por
, obtemos
Logo, qualquer idempotente invertível só pode ser a matriz identidade.
Resposta
(a) Três exemplos de matrizes
idempotentes são
(b) Se
é idempotente e invertível, de
segue
, logo a única invertível é a identidade.