Sejam
\begin{aligned} A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right] \\\ C=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ -3 & -1 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] \end{aligned}
Em cada caso, encontre a matriz elementar E que satisfaça a equação dada.
E C=A

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}
e pede uma matriz elementar E tal que
E\,C = A.
Aqui vamos usar a ideia de que multiplicar C à esquerda por uma matriz elementar corresponde a aplicar uma única operação de linha em C.

Passo 2

Observe as linhas de C e de A:
a primeira linha de C é (1,2,-1), igual à de A;
a segunda linha de C é (1,1,1), igual à de A;
a terceira linha de C é (2,1,-1), mas em A a terceira linha é (1,-1,0).
Logo, só precisamos alterar a linha 3 de C, deixando as linhas 1 e 2 iguais.

Passo 3

Queremos uma operação de linha que transforme
(2,1,-1)\quad\longmapsto\quad(1,-1,0).
Note que
(2,1,-1) - (1,2,-1) = (1,-1,0).
Ou seja, basta fazer
\text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \text{linha}_1.

Passo 4

A matriz elementar que representa \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \text{linha}_1 é obtida a partir da identidade de ordem 3, colocando -1 na posição (3,1):
E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
De fato, ao multiplicar E por C, as duas primeiras linhas ficam iguais, e a terceira linha vira
-1\cdot(1,2,-1) + 1\cdot(2,1,-1) = (1,-1,0),
que é exatamente a terceira linha de A.

Resposta

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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