Obtenha as matrizes que comutam \operatorname{com} A=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes B\in M_{2}(\mathbb{R}) que comutam com
A = \begin{pmatrix}1 & -1\\[6pt]0 & 2\end{pmatrix},
isto é, encontrar todas as B tais que
AB = BA.
O conteúdo usado será a definição de comutador AB - BA = 0 e resolução de um sistema linear para as entradas de B.]

Passo 2

Suponha uma matriz genérica
B = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}.
Calculemos
AB = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a - c & b - d\\[4pt]2c & 2d\end{pmatrix},
e
BA = \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & -a + 2b\\[4pt]c & -c + 2d\end{pmatrix}.
Igualando AB = BA\) elemento a elemento, obtemos o sistema \[\begin{cases} a - c = a,\\\ b - d = -\,a + 2b,\\\\ 2c = c,\\\\ 2d = -\,c + 2d. \end{cases}
Da primeira equação vem c=0\]. A terceira e a quarta são imediatamente satisfeitas com \(c=0. Da segunda:
b - d = -a + 2b \quad\Longrightarrow\quad -d = -a + b \quad\Longrightarrow\quad d = a - b.]

Passo 3

Substituindo c=0 e d = a - b na forma de B, concluímos que as matrizes que comutam com A são exatamente
B = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & a - b\end{pmatrix},
onde a e b são parâmetros reais livres.]

Resposta

As matrizes que comutam com A são
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & a - b\end{pmatrix},
com a,b\in\mathbb{R}.]

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