Igualando AB = BA\) elemento a elemento, obtemos o sistema
\[\begin{cases} a - c = a,\\\ b - d = -\,a + 2b,\\\\ 2c = c,\\\\ 2d = -\,c + 2d. \end{cases}
Da primeira equação vem c=0\]. A terceira e a quarta são imediatamente satisfeitas com \(c=0. Da segunda:
b - d = -a + 2b \quad\Longrightarrow\quad -d = -a + b \quad\Longrightarrow\quad d = a - b.]
Passo 3
Substituindo c=0 e d = a - b na forma de B, concluímos que as matrizes que comutam com A são exatamente
B = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & a - b\end{pmatrix},
onde a e b são parâmetros reais livres.]
Resposta
As matrizes que comutam com A são
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & a - b\end{pmatrix},