Uma matriz quadrada A é dita idempotente se A^{2}=A.
(a) Mostre que a matriz A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\\\ -3 & 4 & -3 \\\\ -5 & 5 & -4\end{array}\right] é idempotente. Calcule A^{3}, A^{4}, \ldots, A^{n}.
(b) Qual é a única matriz idempotente não singular? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos diz que uma matriz quadrada A é idempotente se
A^2 = A.
Na parte (a) temos
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ -3 & 4 & -3\\\\ -5 & 5 & -4 \end{pmatrix}
e precisamos mostrar que A^2=A e depois calcular A^3,A^4,\dots,A^n.
Na parte (b) queremos achar qual é a única matriz idempotente não singular (invertível).

Passo 2

Vamos calcular
A^2 = A \cdot A.
Fazendo o produto linha-por-coluna, obtemos
A^2 = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + (-1)(-3) + 1\cdot(-5) & 2\cdot(-1)+(-1)\cdot4 +1\cdot5 & 2\cdot1+(-1)(-3)+1\cdot(-4) \\[6pt] -3\cdot2 +4\cdot(-3) +(-3)\cdot(-5) & -3\cdot(-1)+4\cdot4 +(-3)\cdot5 & -3\cdot1+4\cdot(-3)+(-3)\cdot(-4) \\[6pt] -5\cdot2 +5\cdot(-3) +(-4)\cdot(-5) & -5\cdot(-1)+5\cdot4 +(-4)\cdot5 & -5\cdot1+5\cdot(-3)+(-4)\cdot(-4) \end{pmatrix}.
Calculando cada entrada vemos que a primeira linha vira (2,-1,1), a segunda (-3,4,-3) e a terceira (-5,5,-4). Logo
A^2 = A,
isto é, A é idempotente.]

Passo 3

Para n\ge2 usamos indução ou observamos diretamente que
A^3 = A^2\cdot A = A\cdot A = A^2 = A,
e analogamente
A^4 = A^3\cdot A = A\cdot A = A,\quad\dots,\quad A^n = A.
Portanto, para todo n\ge1 vale
A^n = A.

Passo 4

Suponha agora que B seja idempotente e invertível, ou seja
B^2 = B \quad\text{e}\quad B^{-1}\text{ existe}.
Multiplicando B^2 = B à esquerda por B^{-1}
B = I.
Logo, a única matriz idempotente não singular é a matriz identidade I.

Resposta

(a) A^2 = A, logo A^n = A para todo n\ge1.
(b) A única matriz idempotente invertível é I.

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