Calcule o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & a_{14} \\\\ 0 & 0 & a_{23} & a_{24} \\\\ 0 & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4\times4 com muitos zeros em posições iniciais. O conteúdo é expansão por cofatores (Laplace). Vamos expandir ao longo da primeira linha, pois há apenas um elemento não nulo nela.

Passo 2

Expandindo \det(A) pela primeira linha, o único termo é o de entrada a_{14}. Logo,
\det(A) =\sum_{j=1}^{4}(-1)^{1+j}A_{1j}\,\det(M_{1j}) =(-1)^{1+4}a_{14}\,\det(M_{14}) =-a_{14}\,\det(M_{14}),
onde M_{14} é a matriz obtida de A ao remover a primeira linha e a quarta coluna:
M_{14} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & a_{23}\\\\ 0 & a_{32} & a_{33}\\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \det(M_{14}), expandimos pela sua primeira linha (só a_{23} é não nulo):
\det(M_{14}) =\sum_{j=1}^{3}(-1)^{1+j}M_{14}(1,j)\,\det(\tilde M_{1j}) =(-1)^{1+3}a_{23}\,\det(\tilde M) =+\,a_{23}\,\det\begin{pmatrix}0 & a_{32}\\\ a_{41} & a_{42}\end{pmatrix}.
Agora,
\det\begin{pmatrix}0 & a_{32}\\\ a_{41} & a_{42}\end{pmatrix} =0\cdot a_{42}-a_{32}\cdot a_{41} =-\,a_{32}\,a_{41}.
Portanto,
\det(M_{14})=a_{23}\bigl(-a_{32}\,a_{41}\bigr) =-\,a_{23}\,a_{32}\,a_{41}.

Passo 4

Substituindo em \det(A)=-a_{14}\,\det(M_{14}), vem
\det(A) =-a_{14}\bigl(-\,a_{23}\,a_{32}\,a_{41}\bigr) =+\,a_{14}\,a_{23}\,a_{32}\,a_{41}.

Resposta

\det(A)=a_{14}\,a_{23}\,a_{32}\,a_{41}.

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