Uma matriz quadrada A é dita nilpotente se existir um número inteiro p>0 tal que A^p=0. Neste caso, se p é menor inteiro para o qual A^p=0, dizemos
que A é nilpotente de ordem p. Mostre que a matriz
A=[ccc 0 & 0 & 0 1 & 2 & -1 1 & 4 & -2 ]
é nilpotente e determine sua ordem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz A é nilpotente e determinar a menor potência p>0 tal que A^p=0. Por definição, uma matriz quadrada A é nilpotente se existe p com
A^p = 0
Para achar a ordem de nilpotência, basta calcular potências sucessivas de A.

Passo 2

Para calcular A^2 = Acdot A, usamos que o elemento (i,j) de A^2 é
(A^2)i,j ;=;sumk=1^3 Ai,k,Ak,j
Aplicando isso,
A^2 = 0 & 0 & 0 1 & 2 & -1 1 & 4 & -2 0 & 0 & 0 1 & 2 & -1 1 & 4 & -2 = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 ,
que claramente não é a matriz nula, logo a ordem de nilpotência é maior que 2.

Passo 3

Agora calculamos
A^3 = A^2 cdot A = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 1 & 2 & -1 1 & 4 & -2 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0
Portanto, a menor potência que zera A é p=3.

Resposta

A é nilpotente de ordem 3.

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