Encontre todas as matrizes que comutam com a matriz
A=[cc 1 & -1 0 & 2 ]
Resposta: [cca & b 0 & a-b]

Passo 1

O enunciado quer caracterizar todas as matrizes Xin M2(R) tais que
AX = XA,
onde
A = 1 & -1 [6pt] 0 & 2
O conteúdo é Álgebra Linear, em particular o estudo do comutante (ou centralizador) de uma matriz. Para resolver, vamos usar a definição de produto de matrizes e igualar as entradas correspondentes de AX e XA.]

Passo 2

Tomemos a matriz genérica
X = x & y [3pt] z & w
Então
AX = 1cdot x + (-1)cdot z & 1cdot y + (-1)cdot w [4pt] 0cdot x + 2cdot z & 0cdot y + 2cdot w = x - z & y - w [3pt] 2z & 2w ,
XA = xcdot1 + ycdot0 & xcdot(-1) + ycdot2 [4pt] zcdot1 + wcdot0 & zcdot(-1) + wcdot2 = x & -x + 2y [3pt] z & -z + 2w
Impor AX=XA gera o sistema
x - z = x, y - w = -x + 2y, 2z = z, 2w = -z + 2w ]

Passo 3

Do primeiro e do terceiro itens vem
z=0
Substituindo em y - w = -x + 2y obtemos
y - w = -x + 2y ;Longrightarrow; -w = -x + y ;Longrightarrow; w = x - y
A quarta equação fica automaticamente satisfeita quando z=0. Logo
X = x & y [3pt] 0 & x - y
Renomeando a = x e b = y, chegamos à forma desejada.]

Resposta

a & b [3pt] 0 & a - b ,
com a,binR.]

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