Uma matriz quadrada A diz-se idempotente se A^2=A.
(a) Mostre que se A B=A e B A=B, então A e B são idempotentes;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e . Sabemos que uma matriz é chamada de idempotente se ela satisfaz . A questão nos diz que e , e pede para mostrarmos que tanto quanto são idempotentes. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades de multiplicação de matrizes e o que significa uma matriz ser idempotente.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que A cdot B cdot A = A cdot A é idempotente, ou seja, que A cdot (B cdot A) = A^2 .
Sabemos que A cdot B = A^2 . Vamos multiplicar ambos os lados dessa igualdade por A = A^2 à direita:
Por associatividade da multiplicação de matrizes, podemos reescrever o lado esquerdo:
Mas, segundo a hipótese, . Substituindo:
E novamente, sabemos que . Então:
Isso mostra que é idempotente.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que B cdot A cdot B = B cdot B também é idempotente, ou seja, que B cdot (A cdot B) = B^2 .
Sabemos que B cdot A = B^2 . Vamos multiplicar ambos os lados dessa igualdade por B = B^2 à esquerda:
Usando a associatividade da multiplicação de matrizes:
Sabemos que (hipótese dada). Substituindo:
Mas . Então:
Isso confirma que é idempotente.

Resposta

Tanto quanto são matrizes idempotentes, ou seja, e .

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