Uma matriz quadrada
diz-se idempotente se
.
(a) Mostre que se
e
, então
e
são idempotentes;
(a) Mostre que se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
. Sabemos que uma matriz
é chamada de idempotente se ela satisfaz
. A questão nos diz que
e
, e pede para mostrarmos que tanto
quanto
são idempotentes. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades de multiplicação de matrizes e o que significa uma matriz ser idempotente.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é idempotente, ou seja, que
.
Sabemos que
. Vamos multiplicar ambos os lados dessa igualdade por
à direita:
Por associatividade da multiplicação de matrizes, podemos reescrever o lado esquerdo:
Mas, segundo a hipótese,
. Substituindo:
E novamente, sabemos que
. Então:
Isso mostra que
é idempotente.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
também é idempotente, ou seja, que
.
Sabemos que
. Vamos multiplicar ambos os lados dessa igualdade por
à esquerda:
Usando a associatividade da multiplicação de matrizes:
Sabemos que
(hipótese dada). Substituindo:
Mas
. Então:
Isso confirma que
é idempotente.
Resposta
Tanto
quanto
são matrizes idempotentes, ou seja,
e
.