Dados os subespaços
e
do
, determine o subespaço intersecção
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta dois subespaços no espaço tridimensional
. O primeiro subespaço,
, é definido por todas as coordenadas
onde
. O segundo subespaço,
, é definido por todas as coordenadas onde
. Nosso objetivo é encontrar a intersecção desses dois subespaços, ou seja, todos os pontos que estão tanto em
quanto em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada subespaço. No subespaço
, temos a equação
. Isso nos diz que
. Então, qualquer ponto em
pode ser escrito como
, onde
e
podem ser quaisquer números reais.
Já no subespaço
, temos que
. Então, qualquer ponto em
é da forma
, onde
e
são quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, para encontrar a intersecção
, precisamos encontrar todos os pontos que satisfazem as condições de ambos os subespaços simultaneamente. Ou seja, precisamos que
e
sejam verdadeiros ao mesmo tempo.
Passo 4
Vamos resolver essas duas equações juntas. Sabemos que
. Substituindo esse valor na primeira equação:
Então, descobrimos que
também deve ser igual a zero.
Passo 5
Com
e
, o único componente que pode variar é
. Portanto, todos os pontos na intersecção
têm a forma
, onde
pode ser qualquer número real.
Resposta
A intersecção dos subespaços
e
é o conjunto
.