Dados os subespaços U=(x, y, z) mid x+y=0 e V=(x, y, z) mid x=0 do R^3, determine o subespaço intersecção U cap V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta dois subespaços no espaço tridimensional R^3. O primeiro subespaço, U, é definido por todas as coordenadas (x, y, z) onde x + y = 0. O segundo subespaço, V, é definido por todas as coordenadas onde x = 0. Nosso objetivo é encontrar a intersecção desses dois subespaços, ou seja, todos os pontos que estão tanto em U quanto em V. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada subespaço. No subespaço U, temos a equação x + y = 0. Isso nos diz que y = -x. Então, qualquer ponto em U pode ser escrito como (x, -x, z), onde x e z podem ser quaisquer números reais.
Já no subespaço V, temos que x = 0. Então, qualquer ponto em V é da forma (0, y, z), onde y e z são quaisquer números reais.

Passo 3

Agora, para encontrar a intersecção U cap V, precisamos encontrar todos os pontos que satisfazem as condições de ambos os subespaços simultaneamente. Ou seja, precisamos que x + y = 0 e x = 0 sejam verdadeiros ao mesmo tempo.

Passo 4

Vamos resolver essas duas equações juntas. Sabemos que x = 0. Substituindo esse valor na primeira equação:
0 + y = 0 implies y = 0
Então, descobrimos que y também deve ser igual a zero.

Passo 5

Com x = 0 e y = 0, o único componente que pode variar é z. Portanto, todos os pontos na intersecção U cap V têm a forma (0, 0, z), onde z pode ser qualquer número real.

Resposta

A intersecção dos subespaços U e V é o conjunto , (0,;0,;z) mid z in R ,.

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