Uma matriz quadrada A se diz simétrica se \mathrm{A}=A^{t}. Determine \mathrm{x}, \mathrm{y} e z para que a matriz.
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & y-1 \\\ x & 3 & z+1 \\\\ 2 y & 0 & 4 \end{array}\right]
Seja simétrica

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & y-1 \\\ x & 3 & z+1 \\\\ 2y & 0 & 4 \end{pmatrix}
e pede x, y e z tais que A seja simétrica. Por definição, A é simétrica se e somente se
A = A^T,
ou seja, cada elemento a_{ij} deve ser igual a a_{ji}.

Passo 2

Compare os elementos \,a_{12} e \,a_{21}. Na matriz temos
\,a_{12} = 1 e \,a_{21} = x.
Igualando:
1 = x
Logo,
x = 1.

Passo 3

Compare os elementos \,a_{13} e \,a_{31}. Na matriz temos
\,a_{13} = y - 1 e \,a_{31} = 2y.
Igualando:
y - 1 = 2y
-1 = 2y - y
y = -1.

Passo 4

Por fim, compare os elementos \,a_{23} e \,a_{32}. Na matriz temos
\,a_{23} = z + 1 e \,a_{32} = 0.
Igualando:
z + 1 = 0
z = -1.

Resposta

x = 1,\;y = -1,\;z = -1.

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