Para uma matriz quadrada A sabe-se que \operatorname{det}(A)=2 e que
A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 2 \\\\ 0 & -1 & a \\\\ -1 & 2 & -1 \end{array}\right] .
Calcule o valor da constante a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\det(A)=2
e
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -1 & a\\[4pt] -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
A pergunta é: qual é o valor da constante a?]

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): vamos usar uma relação entre determinantes de matrizes inversas e o determinante da matriz original. A propriedade que precisamos é a seguinte:
\det(A)\det(A^{-1})=\det(AA^{-1})=\det(I)=1,
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\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
Como o enunciado dá \det(A)=2, temos imediatamente
\det(A^{-1})=\frac{1}{2}.
Então basta calcular o determinante da matriz dada (o A^{-1} com a incógnita a), expressá-lo em função de a e igualar a \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Vamos nomear a matriz dada como
B=A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -1 & a\\[4pt] -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Os elementos são
b_{11}=1,\quad b_{12}=2,\quad b_{13}=2,
b_{21}=0,\quad b_{22}=-1,\quad b_{23}=a,
b_{31}=-1,\quad b_{32}=2,\quad b_{33}=-1.]

Passo 4

Para calcular o determinante de uma matriz 3\times3 há uma regra simples (regra de Sarrus) que diz:
\det(B)=b_{11}b_{22}b_{33}+b_{12}b_{23}b_{31}+b_{13}b_{21}b_{32} -b_{13}b_{22}b_{31}-b_{11}b_{23}b_{32}-b_{12}b_{21}b_{33}.
Vou aplicá-la termo a termo, explicando cada produto.

Passo 5

Calculemos os três termos positivos:
T_1=b_{11}b_{22}b_{33}=1\cdot(-1)\cdot(-1)=1,
T_2=b_{12}b_{23}b_{31}=2\cdot a\cdot(-1)=-2a,
T_3=b_{13}b_{21}b_{32}=2\cdot 0\cdot 2=0.
Soma dos termos positivos:
T_1+T_2+T_3=1-2a+0=1-2a.

Passo 6

Calculemos agora os três termos negativos:
S_1=b_{13}b_{22}b_{31}=2\cdot(-1)\cdot(-1)=2,
S_2=b_{11}b_{23}b_{32}=1\cdot a\cdot 2=2a,
S_3=b_{12}b_{21}b_{33}=2\cdot 0\cdot(-1)=0.
Soma dos termos negativos:
S_1+S_2+S_3=2+2a+0=2+2a.

Passo 7

Agora subtraímos a soma negativa da positiva para obter o determinante:
\det(B)=(1-2a)-(2+2a)=1-2a-2-2a=-1-4a.
Pelo passo 2 sabemos que \det(B)=\dfrac{1}{2}. Portanto temos a equação
-1-4a=\frac{1}{2}.

Passo 8

Resolve-se a equação para a:
-4a=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2},
a=-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}=-\frac{3}{8}.
Podemos checar substituindo a=-\tfrac{3}{8} na expressão \det(B)=-1-4a: obtemos -1-4(-\tfrac{3}{8})=-1+\tfrac{12}{8}=-1+\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}, que coincide com \det(A^{-1}). Tudo coerente.

Resposta

-\dfrac{3}{8}

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