Sejam A e B matrizes 4 \times 4 tais que \operatorname{det}(A)=-2 e \operatorname{det}(B)=5. Calcule
(h) \operatorname{det}\left(B^{-1} A^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B de ordem 4\times4 e informa os determinantes:
\det(A) = -2,\qquad \det(B)=5.
A pergunta (item h) é calcular
\det\bigl(B^{-1}A^{-1}\bigr).

Passo 2

Lembrete importante (fórmula 1): se uma matriz quadrada M é invertível, então o determinante da inversa satisfaz
\det(M^{-1})=\frac{1}{\det(M)}.
Explicação rápida: como M M^{-1}=I e \det(I)=1, temos \det(M)\det(M^{-1})=\det(I)=1, daí \det(M^{-1})=1/\det(M). Isso vale para qualquer matriz quadrada invertível.

Passo 3

Aplicando essa propriedade às nossas matrizes:
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2},
\det(B^{-1})=\frac{1}{\det(B)}=\frac{1}{5}.
Aqui usei diretamente os valores dados no enunciado para calcular cada determinante de inversa.

Passo 4

Outra propriedade essencial (fórmula 2): o determinante do produto de duas matrizes quadradas da mesma ordem é o produto dos determinantes:
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Intuição: o determinante mede o fator de escala de volume; aplicar Y e depois X escala por \det(Y) e por \det(X), totalizando o produto. Essa propriedade vale independentemente da ordem na qual escrevemos o produto dentro do determinante (desde que as matrizes sejam compatíveis).

Passo 5

Usando a multiplicatividade do determinante para B^{-1}A^{-1}, obtemos
\det\bigl(B^{-1}A^{-1}\bigr)=\det(B^{-1})\det(A^{-1}).
Aqui só apliquei a fórmula do passo anterior com X=B^{-1} e Y=A^{-1}.

Passo 6

Substituindo os valores que calculamos no Passo 3:
\det\bigl(B^{-1}A^{-1}\bigr)=\frac{1}{5}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{1}{10}.
Cálculo passo a passo: \tfrac{1}{5}\times(-\tfrac{1}{2})=(-1)/(5\cdot 2)=-1/10.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio para levar pra prova: (i) calcule \det(A^{-1}) e \det(B^{-1}) usando \det(M^{-1})=1/\det(M); (ii) use \det(XY)=\det(X)\det(Y) para o produto pedido; (iii) multiplique numericamente.

Resposta

-\tfrac{1}{10}

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