Sejam
e
matrizes
tais que
e
. Calcule
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado dá as matrizes
e
de ordem
e informa os determinantes:
e
.
Pede-se calcular o determinante .
Informações relevantes listadas:
Pede-se calcular o determinante
Informações relevantes listadas:
-
e são matrizes quadradas . -
. -
. - A operação envolve o produto
e a multiplicação por escalar .
Passo 2
Propriedade importante 1: o determinante do produto de matrizes quadradas é o produto dos determinantes. Ou seja, para matrizes quadradas
e
da mesma ordem,
Explicação curta: geometricamente o determinante mede fator de escala; aplicar
e depois
escala volumes por
e depois por
, então o total é o produto. Na prova, memorize essa propriedade e use direto.
Passo 3
Propriedade importante 2: o determinante é invariante por transposição. Ou seja, para qualquer matriz quadrada
,
Explicação: transpor troca linhas por colunas e o determinante tem a mesma expressão (até permutações de índices), então não muda o valor.
Passo 4
Propriedade importante 3: multiplicar uma matriz
de ordem
por um escalar
(multiplicando todas as entradas) multiplica o determinante por
. Em símbolos,
Por que? Multiplicar a matriz por
equivale a multiplicar cada uma das
linhas por
; multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
, e como são
linhas o fator total é
.
Exemplo concreto para fixar: se e
, então
.
Exemplo concreto para fixar: se
Passo 5
Aplicando as propriedades ao nosso problema. Temos a matriz
. O escalar
multiplica toda a matriz produto
, e a ordem é
. Portanto, pelo Passo 4,
Agora, usando Passo 2 (det do produto),
E pela Passo 3,
. Juntando tudo:
Passo 6
Substituímos os valores dados:
e
. Calculando passo a passo:
Primeiro
. Então