Sejam A e B matrizes 4 \times 4 tais que \operatorname{det}(A)=-2 e \operatorname{det}(B)=5. Calcule
(i) \operatorname{det}\left(2 A B^{t}\right)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes A e B de ordem 4\times4 e informa os determinantes:
\det(A)=-2 e \det(B)=5.
Pede-se calcular o determinante \det\bigl(2 A B^{t}\bigr).
Informações relevantes listadas:
  • A e B são matrizes quadradas 4\times4.
  • \det(A)=-2.
  • \det(B)=5.
  • A operação envolve o produto A B^{t} e a multiplicação por escalar 2.

Passo 2

Propriedade importante 1: o determinante do produto de matrizes quadradas é o produto dos determinantes. Ou seja, para matrizes quadradas X e Y da mesma ordem,
\det(XY)=\det(X)\det(Y).
Explicação curta: geometricamente o determinante mede fator de escala; aplicar X e depois Y escala volumes por \det(X) e depois por \det(Y), então o total é o produto. Na prova, memorize essa propriedade e use direto.

Passo 3

Propriedade importante 2: o determinante é invariante por transposição. Ou seja, para qualquer matriz quadrada B,
\det(B^{t})=\det(B).
Explicação: transpor troca linhas por colunas e o determinante tem a mesma expressão (até permutações de índices), então não muda o valor.

Passo 4

Propriedade importante 3: multiplicar uma matriz M de ordem n por um escalar c (multiplicando todas as entradas) multiplica o determinante por c^{n}. Em símbolos,
\det(cM)=c^{n}\det(M).
Por que? Multiplicar a matriz por c equivale a multiplicar cada uma das n linhas por c; multiplicar uma linha por c multiplica o determinante por c, e como são n linhas o fator total é c^{n}.
Exemplo concreto para fixar: se n=2 e \det(M)=d, então \det(2M)=2^{2}d=4d.

Passo 5

Aplicando as propriedades ao nosso problema. Temos a matriz 2AB^{t}. O escalar 2 multiplica toda a matriz produto AB^{t}, e a ordem é n=4. Portanto, pelo Passo 4,
\det\bigl(2AB^{t}\bigr)=2^{4}\det\bigl(AB^{t}\bigr).
Agora, usando Passo 2 (det do produto),
\det\bigl(AB^{t}\bigr)=\det(A)\det\bigl(B^{t}\bigr).
E pela Passo 3, \det\bigl(B^{t}\bigr)=\det(B). Juntando tudo:
\det\bigl(2AB^{t}\bigr)=2^{4}\det(A)\det(B).

Passo 6

Substituímos os valores dados: \det(A)=-2 e \det(B)=5. Calculando passo a passo:
2^{4}=16,
\det\bigl(2AB^{t}\bigr)=16\cdot\bigl(-2\bigr)\cdot 5.
Primeiro \bigl(-2\bigr)\cdot 5=-10. Então
16\cdot(-10)=-160.

Resposta

-160

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