Uma matriz quadrada A é simétrica se A=A^{t} e antissimétrica se A=-A^{t}. Sejam A e B matrizes quadradas e \lambda \in \mathbb{R}. Mostre que:
Se A e B são simétricas, então A+B e \lambda \cdot A são também matrizes simétricas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Informações dadas:
\;A e \;B são matrizes quadradas e simétricas, ou seja \;A=A^{t} e \;B=B^{t}.
\;\lambda\in\mathbb{R} é um escalar real.
Perguntas (o que precisamos mostrar):
  1. Mostrar que \;A+B é simétrica.
  2. Mostrar que \;\lambda\cdot A é simétrica.

Passo 2

Vamos lembrar (e justificar) o que é a transposta de uma matriz usando definição por entradas.
Se C é uma matriz com entradas C_{ij}, então a transposta C^{t} tem entradas (C^{t})_{ij}=C_{ji}.
Isto significa que trocar linhas por colunas equivale a trocar os índices i e j.

Passo 3

Propriedade da transposta em relação à soma — demonstração por entradas.
Seja A e B duas matrizes do mesmo tamanho. Pela definição de soma de matrizes, a entrada (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}. Aplicando a definição da transposta:
\bigl((A+B)^{t}\bigr)_{ij}=(A+B)_{ji}=A_{ji}+B_{ji}.
Pelo mesmo raciocínio, (A^{t})_{ij}=A_{ji} e (B^{t})_{ij}=B_{ji}. Portanto, para toda entrada i,j,
\bigl((A+B)^{t}\bigr)_{ij}=(A^{t})_{ij}+(B^{t})_{ij}.
Como isso vale para todas as entradas, obtemos a igualdade de matrizes
\boxed{(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.}

Passo 4

Usando a propriedade anterior e o fato de A e B serem simétricas: A=A^{t} e B=B^{t}. Então
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}=A+B.
A definição de matriz simétrica é exatamente M=M^{t}. Portanto concluímos que \;A+B é simétrica.

Passo 5

Propriedade da transposta em relação à multiplicação por escalar — demonstração por entradas.
Seja \lambda\in\mathbb{R}. Pela definição de multiplicação por escalar, (\lambda A)_{ij}=\lambda A_{ij}. Aplicando a transposta:
\bigl((\lambda A)^{t}\bigr)_{ij}=(\lambda A)_{ji}=\lambda A_{ji}.
Mas \lambda(A^{t})_{ij}=\lambda A_{ji}. Assim, para todas as entradas i,j,
\bigl((\lambda A)^{t}\bigr)_{ij}=\bigl(\lambda A^{t}\bigr)_{ij},
o que implica, como matrizes,
\boxed{(\lambda A)^{t}=\lambda A^{t}.}

Passo 6

Usando a propriedade do passo anterior e que A é simétrica ( A=A^{t}), temos
(\lambda A)^{t}=\lambda A^{t}=\lambda A.
Pela definição, isso mostra que \lambda A é simétrica para qualquer \lambda\in\mathbb{R}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (2×2). Seja
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix},
ambas simétricas (veja que A_{12}=A_{21}=2 e B_{12}=B_{21}=-1). Então
A+B=\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt]1 & 8\end{pmatrix},
que é simétrica (entrada 12=1 igual à 21=1). Para um escalar \lambda=3,
3A=\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt]6 & 9\end{pmatrix},
também simétrica. Isso ilustra concretamente as propriedades provadas.]

Passo 8

Resumo da lógica usada (motivação para a prova): usamos a definição por entradas da transposta para provar duas identidades úteis: (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t} e (\lambda A)^{t}=\lambda A^{t}. Depois, ao impor A=A^{t} e B=B^{t}, as identidades tornam-se exatamente as condições de simetria para A+B e \lambda A. Portanto as afirmações são verdadeiras para qualquer matriz quadrada A,B simétricas e qualquer \lambda\in\mathbb{R}. Força aí — essa é daquelas propriedades que caem fácil na prova se você lembrar das identidades com a transposta!

Resposta

A+B é simétrica.
\lambda \cdot A é simétrica.

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