Uma matriz quadrada
é simétrica se
e antissimétrica se
. Sejam
e
matrizes quadradas e
. Mostre que:
Se
e
são simétricas, então
e
são também matrizes simétricas.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Informações dadas:
e
são matrizes quadradas e simétricas, ou seja
e
.
é um escalar real.
Informações dadas:
Perguntas (o que precisamos mostrar):
- Mostrar que
é simétrica. - Mostrar que
é simétrica.
Passo 2
Vamos lembrar (e justificar) o que é a transposta de uma matriz usando definição por entradas.
Se é uma matriz com entradas
, então a transposta
tem entradas
.
Isto significa que trocar linhas por colunas equivale a trocar os índices e
.
Se
Isto significa que trocar linhas por colunas equivale a trocar os índices
Passo 3
Propriedade da transposta em relação à soma — demonstração por entradas.
Seja e
duas matrizes do mesmo tamanho. Pela definição de soma de matrizes, a entrada
. Aplicando a definição da transposta:
Seja
Pelo mesmo raciocínio,
e
. Portanto, para toda entrada
,
Como isso vale para todas as entradas, obtemos a igualdade de matrizes
Passo 4
Usando a propriedade anterior e o fato de
e
serem simétricas:
e
. Então
A definição de matriz simétrica é exatamente
. Portanto concluímos que
é simétrica.
Passo 5
Propriedade da transposta em relação à multiplicação por escalar — demonstração por entradas.
Seja . Pela definição de multiplicação por escalar,
. Aplicando a transposta:
Seja
Mas
. Assim, para todas as entradas
,
o que implica, como matrizes,
Passo 6
Usando a propriedade do passo anterior e que
é simétrica (
), temos
Pela definição, isso mostra que
é simétrica para qualquer
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (2×2). Seja
ambas simétricas (veja que
e
). Então
que é simétrica (entrada
igual à
). Para um escalar
,
também simétrica. Isso ilustra concretamente as propriedades provadas.]
Passo 8
Resumo da lógica usada (motivação para a prova): usamos a definição por entradas da transposta para provar duas identidades úteis:
e
. Depois, ao impor
e
, as identidades tornam-se exatamente as condições de simetria para
e
. Portanto as afirmações são verdadeiras para qualquer matriz quadrada
simétricas e qualquer
. Força aí — essa é daquelas propriedades que caem fácil na prova se você lembrar das identidades com a transposta!