Sejam
e
são matrizes
e
. Prove que
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado:
- Informações dadas:
-
e são matrizes de dimensão . -
.
-
- Perguntas (o que devemos provar):
-
. -
. -
.
-
Passo 2
Definição e ideia básica que vamos usar (explicação didática):
- Definição de transposta: se
é uma matriz , a transposta é a matriz cuja entrada na linha e coluna é dada por
Isto significa que transpor troca linhas por colunas: o elemento que estava em
passa para
.
- Definição de soma e multiplicação escalar entrywise:
- Para
de mesma dimensão , a soma tem entradas
- Para
, a matriz tem entradas
- Para
- Critério de igualdade de matrizes: duas matrizes
e são iguais se e somente se todas as entradas correspondentes são iguais, isto é, para todo par .
Vou usar essas definições e provar cada propriedade comparando entradas correspondentes — passo a passo, elemento por elemento.
Passo 3
Prova de
:
- Começo olhando uma entrada genérica da transposta de
. Para e (note que é ),
- Pela definição da soma de matrizes, temos
- Usando a definição de transposta para
e ,
- Substituindo na expressão anterior:
- Isto vale para todo
. Portanto, todas as entradas de e de coincidem, logo pelas definições:
Passo 4
Prova de
:
- Pegue uma entrada genérica de
. Para e ,
- Pela definição da multiplicação escalar,
- Pela definição de transposta,
- Então
- Como isso vale para todo
, concluímos que todas as entradas de coincidem com as de . Portanto
Passo 5
Prova de
:
- Considere a entrada genérica de
. Para e (agora tem dimensão ),
- Pela definição de transposta aplicada a
,
- Logo
- Assim todas as entradas de
coincidem com as de , portanto
Passo 6
Recapitulando (animador): mostramos, elemento por elemento, que as três identidades pedidas são verdadeiras usando apenas as definições de transposta, soma de matrizes, multiplicação escalar e o critério de igualdade de matrizes. Você consegue aplicar esse mesmo raciocínio a qualquer matriz — é sempre a mesma ideia: trabalhar com as entradas
.