Sejam A e B são matrizes m \times n e \lambda \in \mathbb{R}. Prove que (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t},(\lambda \cdot A)^{t}=\lambda \cdot A^{t} e \left(A^{t}\right)^{t}=A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado:
  • Informações dadas:
    • A e B são matrizes de dimensão \;m\times n\;.
    • \lambda\in\mathbb{R}.
  • Perguntas (o que devemos provar):
    1. (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
    2. (\lambda\cdot A)^{t}=\lambda\cdot A^{t}.
    3. \left(A^{t}\right)^{t}=A.

Passo 2

Definição e ideia básica que vamos usar (explicação didática):
  • Definição de transposta: se A é uma matriz m\times n, a transposta A^{t} é a matriz n\times m cuja entrada na linha i e coluna j é dada por
(A^{t})_{ij}=A_{ji}.
Isto significa que transpor troca linhas por colunas: o elemento que estava em (\text{linha }j,\text{ coluna }i) passa para (\text{linha }i,\text{ coluna }j).
  • Definição de soma e multiplicação escalar entrywise:
    • Para A,B de mesma dimensão \;m\times n\;, a soma A+B tem entradas
    (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}\quad\text{para }i=1,\dots,m,\;j=1,\dots,n.
    • Para \lambda\in\mathbb{R}, a matriz \lambda\cdot A tem entradas
    (\lambda\cdot A)_{ij}=\lambda\,A_{ij}.
  • Critério de igualdade de matrizes: duas matrizes X e Y são iguais se e somente se todas as entradas correspondentes são iguais, isto é, X_{ij}=Y_{ij} para todo par (i,j).
Vou usar essas definições e provar cada propriedade comparando entradas correspondentes — passo a passo, elemento por elemento.

Passo 3

Prova de (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}:
  • Começo olhando uma entrada genérica da transposta de A+B. Para i=1,\dots,n e j=1,\dots,m (note que (A+B)^{t} é n\times m),
\big((A+B)^{t}\big)_{ij}=(A+B)_{ji}.
  • Pela definição da soma de matrizes, temos
(A+B)_{ji}=A_{ji}+B_{ji}.
  • Usando a definição de transposta para A e B,
A_{ji}=(A^{t})_{ij}\quad\text{e}\quad B_{ji}=(B^{t})_{ij}.
  • Substituindo na expressão anterior:
\big((A+B)^{t}\big)_{ij}=(A^{t})_{ij}+(B^{t})_{ij}.
  • Isto vale para todo i,j. Portanto, todas as entradas de (A+B)^{t} e de A^{t}+B^{t} coincidem, logo pelas definições:
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.

Passo 4

Prova de (\lambda\cdot A)^{t}=\lambda\cdot A^{t}:
  • Pegue uma entrada genérica de (\lambda\cdot A)^{t}. Para i=1,\dots,n e j=1,\dots,m,
\big((\lambda\cdot A)^{t}\big)_{ij}=(\lambda\cdot A)_{ji}.
  • Pela definição da multiplicação escalar,
(\lambda\cdot A)_{ji}=\lambda\,A_{ji}.
  • Pela definição de transposta,
A_{ji}=(A^{t})_{ij}.
  • Então
\big((\lambda\cdot A)^{t}\big)_{ij}=\lambda\,(A^{t})_{ij}.
  • Como isso vale para todo i,j, concluímos que todas as entradas de (\lambda\cdot A)^{t} coincidem com as de \lambda\cdot A^{t}. Portanto
(\lambda\cdot A)^{t}=\lambda\cdot A^{t}.

Passo 5

Prova de \left(A^{t}\right)^{t}=A:
  • Considere a entrada genérica de \left(A^{t}\right)^{t}. Para i=1,\dots,m e j=1,\dots,n (agora \left(A^{t}\right)^{t} tem dimensão m\times n),
\big(\left(A^{t}\right)^{t}\big)_{ij}=(A^{t})_{ji}.
  • Pela definição de transposta aplicada a A,
(A^{t})_{ji}=A_{ij}.
  • Logo
\big(\left(A^{t}\right)^{t}\big)_{ij}=A_{ij}\quad\text{para todo }i,j.
  • Assim todas as entradas de \left(A^{t}\right)^{t} coincidem com as de A, portanto
\left(A^{t}\right)^{t}=A.

Passo 6

Recapitulando (animador): mostramos, elemento por elemento, que as três identidades pedidas são verdadeiras usando apenas as definições de transposta, soma de matrizes, multiplicação escalar e o critério de igualdade de matrizes. Você consegue aplicar esse mesmo raciocínio a qualquer matriz — é sempre a mesma ideia: trabalhar com as entradas (i,j).

Resposta

(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}
(\lambda\cdot A)^{t}=\lambda\cdot A^{t}
\left(A^{t}\right)^{t}=A

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