Mostre que
A e B são matrizes n \times n e \lambda \in \mathbb{R}, então \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B), \operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda \cdot \operatorname{tr}(A) e \operatorname{tr}(A \cdot B)=\operatorname{tr}(B \cdot A).

Passo 1

O enunciado dá as matrizes A e B de ordem n\times n e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. Preciso mostrar as três igualdades abaixo:
\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B),
\operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\cdot\operatorname{tr}(A),
\operatorname{tr}(A\cdot B)=\operatorname{tr}(B\cdot A).
Informações úteis que o enunciado nos dá (implícitas): posso trabalhar com as entradas das matrizes. Vou usar a notação A=(a_{ij})_{i,j=1}^n e B=(b_{ij})_{i,j=1}^n, onde a_{ij} é a entrada de A na linha i e coluna j, e análogo para b_{ij}.

Passo 2

Definição e explicação do que é \operatorname{tr}. Para uma matriz A=(a_{ij})_{i,j=1}^n definimos a traço (trace) como a soma das entradas da diagonal principal:
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}.
Aqui a_{ii} significa a entrada da linha i e coluna i. É uma soma finita de números reais, então podemos usar as propriedades usuais de somas (comutatividade, associatividade, fator comum etc.). Vou usar essa definição em todas as provas a seguir.

Passo 3

Prova de \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B). Primeiro escrevo a matriz soma em termos de entradas: a entrada (i,j) de A+B é
(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.
Em particular, as entradas da diagonal são (A+B)_{ii}=a_{ii}+b_{ii}. Então, pela definição do traço,
\operatorname{tr}(A+B)=\sum_{i=1}^n (A+B)_{ii}=\sum_{i=1}^n (a_{ii}+b_{ii}).
Agora uso a propriedade distributiva/soma de somas (soma finita):
\sum_{i=1}^n (a_{ii}+b_{ii})=\sum_{i=1}^n a_{ii}+\sum_{i=1}^n b_{ii}=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B).
Pronto — mostramos a primeira igualdade. A ideia básica: somar diagonais termo a termo e separar as somas.

Passo 4

Prova de \operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\cdot\operatorname{tr}(A). As entradas da matriz \lambda A são (\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij}. Em particular as entradas da diagonal são (\lambda A)_{ii}=\lambda a_{ii}. Pela definição do traço,
\operatorname{tr}(\lambda A)=\sum_{i=1}^n (\lambda A)_{ii}=\sum_{i=1}^n \lambda a_{ii}.
Como é uma soma finita, posso tirar o escalar \lambda para fora da soma:
\sum_{i=1}^n \lambda a_{ii}=\lambda\sum_{i=1}^n a_{ii}=\lambda\operatorname{tr}(A).
Isso prova a segunda igualdade. Intuição: multiplicar a matriz por \lambda multiplica cada elemento da diagonal por \lambda, então a soma da diagonal também é multiplicada por \lambda.

Passo 5

Preparação para a propriedade \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA). Vou escrever a fórmula para as entradas do produto de matrizes. Se C=AB e A=(a_{ij}), B=(b_{ij}), então a entrada (i,j) de C é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}\,b_{kj}.
Essa é a definição padrão do produto de matrizes: multiplica-se a linha i de A pela coluna j de B e soma-se sobre o índice intermediário k.

Passo 6

Calcular \operatorname{tr}(AB) usando a fórmula do passo anterior. Pela definição do traço,
\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^n (AB)_{ii}=\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}\,b_{ki}.
Ou seja,
\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}\,b_{ki}.
Isso é uma soma dupla (fimita) sobre os pares (i,k)\in\{1,\dots,n\}^2.

Passo 7

Calcular \operatorname{tr}(BA) de forma análoga. Usando a mesma fórmula para o produto,
\operatorname{tr}(BA)=\sum_{i=1}^n (BA)_{ii}=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n b_{ik}\,a_{ki}.
Agora observo que em cada termo das somas duplas estamos multiplicando números reais, e a multiplicação real é comutativa: a_{ik}\,b_{ki}=b_{ki}\,a_{ik}. Além disso, em uma soma finita de termos indexados por (i,k) posso trocar a ordem das somas ou renomear índices sem problema. Assim:
\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ik}\,b_{ki} = \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n a_{ik}\,b_{ki} = \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n b_{ki}\,a_{ik} = \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n b_{ik}\,a_{ki}.
A última expressão é exatamente \operatorname{tr}(BA). Portanto
\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).
Intuição curta: os termos da soma dupla correspondem aos pares (i,k) e, trocando nomes de índices ou a ordem de soma, vemos que somamos os mesmos produtos.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar a intuição). Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5 & 6\\[4pt]7 & 8\end{pmatrix}.
Calcule AB:
AB=\begin{pmatrix} 1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8\\[4pt] 3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}19 & 22\\[4pt]43 & 50\end{pmatrix},
então \operatorname{tr}(AB)=19+50=69.
Calcule BA:
BA=\begin{pmatrix} 5\cdot1+6\cdot3 & 5\cdot2+6\cdot4\\[4pt] 7\cdot1+8\cdot3 & 7\cdot2+8\cdot4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}23 & 34\\[4pt]31 & 46\end{pmatrix},
então \operatorname{tr}(BA)=23+46=69. Ambos dão 69, confirmando o resultado no caso n=2. Isso ajuda a ver concretamente por que os traços coincidem.]

Passo 9

Resumo da lógica (pequena motivação para a prova na hora da prova): para as duas primeiras propriedades basta trabalhar entrada a entrada na diagonal e usar propriedades elementares de somas e fatoração de escalares. Para a propriedade cíclica \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA) a ideia é escrever o traço como soma dupla dos produtos a_{ik}b_{ki} e observar que, por comutatividade e por poder trocar ordem/nomes dos índices na soma finita, obtemos exatamente a soma correspondente a \operatorname{tr}(BA). Confie: é sempre a mesma soma, só indexada de forma diferente.

Resposta

\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)
\operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\cdot\operatorname{tr}(A)
\operatorname{tr}(A\cdot B)=\operatorname{tr}(B\cdot A)

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