Mostre que
e
são matrizes
e
, então
,
e
.
Passo 1
O enunciado dá as matrizes
e
de ordem
e um escalar
. Preciso mostrar as três igualdades abaixo:
Informações úteis que o enunciado nos dá (implícitas): posso trabalhar com as entradas das matrizes. Vou usar a notação
e
, onde
é a entrada de
na linha
e coluna
, e análogo para
.
Passo 2
Definição e explicação do que é
. Para uma matriz
definimos a traço (trace) como a soma das entradas da diagonal principal:
Aqui
significa a entrada da linha
e coluna
. É uma soma finita de números reais, então podemos usar as propriedades usuais de somas (comutatividade, associatividade, fator comum etc.). Vou usar essa definição em todas as provas a seguir.
Passo 3
Prova de
. Primeiro escrevo a matriz soma em termos de entradas: a entrada
de
é
Em particular, as entradas da diagonal são
. Então, pela definição do traço,
Agora uso a propriedade distributiva/soma de somas (soma finita):
Pronto — mostramos a primeira igualdade. A ideia básica: somar diagonais termo a termo e separar as somas.
Passo 4
Prova de
. As entradas da matriz
são
. Em particular as entradas da diagonal são
. Pela definição do traço,
Como é uma soma finita, posso tirar o escalar
para fora da soma:
Isso prova a segunda igualdade. Intuição: multiplicar a matriz por
multiplica cada elemento da diagonal por
, então a soma da diagonal também é multiplicada por
.
Passo 5
Preparação para a propriedade
. Vou escrever a fórmula para as entradas do produto de matrizes. Se
e
,
, então a entrada
de
é
Essa é a definição padrão do produto de matrizes: multiplica-se a linha
de
pela coluna
de
e soma-se sobre o índice intermediário
.
Passo 6
Calcular
usando a fórmula do passo anterior. Pela definição do traço,
Ou seja,
Isso é uma soma dupla (fimita) sobre os pares
.
Passo 7
Calcular
de forma análoga. Usando a mesma fórmula para o produto,
Agora observo que em cada termo das somas duplas estamos multiplicando números reais, e a multiplicação real é comutativa:
. Além disso, em uma soma finita de termos indexados por
posso trocar a ordem das somas ou renomear índices sem problema. Assim:
A última expressão é exatamente
. Portanto
Intuição curta: os termos da soma dupla correspondem aos pares
e, trocando nomes de índices ou a ordem de soma, vemos que somamos os mesmos produtos.
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para fixar a intuição). Tome
Calcule
:
então
.
Calcule :
Calcule
então
. Ambos dão
, confirmando o resultado no caso
. Isso ajuda a ver concretamente por que os traços coincidem.]
Passo 9
Resumo da lógica (pequena motivação para a prova na hora da prova): para as duas primeiras propriedades basta trabalhar entrada a entrada na diagonal e usar propriedades elementares de somas e fatoração de escalares. Para a propriedade cíclica
a ideia é escrever o traço como soma dupla dos produtos
e observar que, por comutatividade e por poder trocar ordem/nomes dos índices na soma finita, obtemos exatamente a soma correspondente a
. Confie: é sempre a mesma soma, só indexada de forma diferente.