Dê a matriz do operador linear T de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) definido por T(A)=K A, em relação à base canônica, sendo K=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz do operador linear
T\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to M_{2\times2}(\mathbb{R}),\quad T(A)=K\,A
na base canônica de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Para isso, vamos usar que a base canônica é \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}, onde E_{ij} tem um 1 na posição (i,j) e zeros nos demais lugares, e lembrar que a matriz de T nessa base tem colunas dadas pelas coordenadas de T(E_{ij}).

Passo 2

Definimos
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\\ E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\\ E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\\ E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
A ordem na base será exatamente (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}). Vamos calcular T(E_{ij})=K\,E_{ij} e escrever cada resultado como combinação linear desses E_{kl}.

Passo 3

Calculemos primeiro T(E_{11}) e T(E_{12}):
T(E_{11})=K\,E_{11} =\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&0\end{pmatrix} =1\,E_{11}+0\,E_{12}+2\,E_{21}+0\,E_{22},
logo a coordenada é \bigl[1,0,2,0\bigr]^{T}.
T(E_{12})=K\,E_{12} =\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&2\end{pmatrix} =0\,E_{11}+1\,E_{12}+0\,E_{21}+2\,E_{22},
logo a coordenada é \bigl[0,1,0,2\bigr]^{T}.

Passo 4

Agora T(E_{21}) e T(E_{22}):
T(E_{21})=K\,E_{21} =\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} =1\,E_{11}+0\,E_{12}+1\,E_{21}+0\,E_{22},
coordenada \bigl[1,0,1,0\bigr]^{T}.
T(E_{22})=K\,E_{22} =\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&1\end{pmatrix} =0\,E_{11}+1\,E_{12}+0\,E_{21}+1\,E_{22},
coordenada \bigl[0,1,0,1\bigr]^{T}.

Passo 5

Montamos a matriz de T na base (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) colocando essas coordenadas como colunas, na ordem \bigl(T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22})\bigr).

Resposta

[T]_{\text{can}}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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