(Uma questão de cálculo) Mostre que a derivada de
em relação a
é o cofator
. As outras entradas são fixas—estamos apenas alterando
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao variar apenas a entrada
da matriz
, a derivada parcial
é exatamente o cofator
(ou seja,
vezes o determinante da submatriz que sobra ao eliminar linha 1 e coluna 1). Vamos usar o fato de que o determinante é uma forma multilinear nas linhas (ou colunas) e o teorema de Laplace (expansão por cofatores) ao longo da primeira linha.
Passo 2
Pela multilinearidade do determinante em relação à primeira linha, se denotarmos a primeira linha de
por
então, ao escrever
como combinação linear dos vetores canônicos
, obtemos
onde em cada termo “
” aparece a submatriz de ordem
obtida ao eliminar linha 1 e coluna
, com o sinal
.
Passo 3
Em outras palavras, pela expansão de Laplace na primeira linha temos
Aqui cada
é independente de
.
Passo 4
Vemos então que, como função de
,
é
Logo, pela regra básica de derivação de funções lineares,