(Uma questão de cálculo) Mostre que a derivada de det A em relação a a11 é o cofator C11. As outras entradas são fixas—estamos apenas alterando a11.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao variar apenas a entrada ,a11 da matriz A=(aij)ntimes n, a derivada parcial
partialpartial a11l(det Ar)
é exatamente o cofator C11 (ou seja, (-1)^1+1 vezes o determinante da submatriz que sobra ao eliminar linha 1 e coluna 1). Vamos usar o fato de que o determinante é uma forma multilinear nas linhas (ou colunas) e o teorema de Laplace (expansão por cofatores) ao longo da primeira linha.

Passo 2

Pela multilinearidade do determinante em relação à primeira linha, se denotarmos a primeira linha de A por
r1=(a11,a12,dots,a1n),
então, ao escrever r1 como combinação linear dos vetores canônicos ej, obtemos
det A =detl(r1,dotsr) =detl(a11e1+cdots+a1nen,dotsr) =a11,det(e1,dots)+cdots+a1n,det(en,dots),
onde em cada termo “ det(ej,dots)” aparece a submatriz de ordem n-1 obtida ao eliminar linha 1 e coluna j, com o sinal (-1)^1+j.

Passo 3

Em outras palavras, pela expansão de Laplace na primeira linha temos
det A =sumj=1^na1j,C1j =a11,C11+sumj=2^na1j,C1j
Aqui cada C1j é independente de a11.

Passo 4

Vemos então que, como função de a11, det A é
f(a11)=a11,C11+(termos independentes de (a11))
Logo, pela regra básica de derivação de funções lineares,
partialpartial a11l(det Ar) =dda11l(a11,C11r) =C11

Resposta

partialpartial a11l(det Ar)=C11

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