Na matrizes abaixo, calcule os determinantes usando a expansão em co-fatores.
\left|\begin{array}{rrr}0 & 1 & -2 \\\\ -1 & 3 & 1 \\\\ 2 & -2 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2\\\\ -1 & 3 & 1\\\\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}
usando expansão em co-fatores. O conteúdo é cálculo de determinante de matriz 3\times3 pela definição
\det(M)=\sum_{j=1}^{3} a_{1j}\,C_{1j},
onde a_{1j} é o elemento da primeira linha e C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) é o co-fator associado.

Passo 2

Vamos expandir pela primeira linha. Os elementos são
\,a_{11}=0,\;a_{12}=1,\;a_{13}=-2.
A fórmula fica
\det(M)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}.

Passo 3

Para j=1:
a_{11}=0, logo
a_{11}C_{11}=0 \cdot (\dots) = 0.

Passo 4

Para j=2:
\,a_{12}=1 e
C_{12}=(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 2 & 3 \end{pmatrix} =-1\bigl[(-1)\cdot 3 - 1\cdot 2\bigr] =-1\bigl(-3-2\bigr) =5.
Portanto o segundo termo é
a_{12}C_{12}=1\cdot 5=5.

Passo 5

Para j=3:
\,a_{13}=-2 e
C_{13}=(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix} -1 & 3\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix} =+1\bigl[(-1)\cdot(-2)-3\cdot 2\bigr] =1\bigl(2-6\bigr) =-4.
Assim o terceiro termo é
a_{13}C_{13} = -2\cdot(-4)=8.

Passo 6

Somando os três termos:
\det(M)=0 + 5 + 8 = 13.

Resposta

O determinante da matriz é 13.

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