Na matrizes abaixo, calcule os determinantes usando a expansão em co-fatores.
\left|\begin{array}{rrrr}3 & 1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 0 & 3 & -7 \\\\ 1 & 3 & 4 & -5 \\\\ 0 & -1 & 1 & -5\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular \det A da matriz abaixo usando expansão em cofatores:
A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 0 & 3 & -7 \\\\ 1 & 3 & 4 & -5 \\\\ 0 & -1 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 4\times4 por desenvolvimento em cofatores. Vamos expandir ao longo da primeira coluna, pois há um zero em a_{41} que simplifica os cálculos.

Passo 2

Pela definição de expansão em cofatores ao longo da primeira coluna,
\det A = \sum_{i=1}^4 (-1)^{i+1} a_{i1}\,M_{i1} = 3\,M_{11} - 2\,M_{21} + 1\,M_{31} - 0\cdot M_{41},
onde cada M_{i1} é o determinante do menor obtido ao retirar a linha i e a coluna 1.

Passo 3

Calcular M_{11}. O menor é
\begin{pmatrix} 0 & 3 & -7 \\\\ 3 & 4 & -5 \\\\ -1 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
Aplicando a regra de Sarrus ou a fórmula geral de determinantes 3\times3,
M_{11} = 0\cdot(4\cdot(-5) - (-5)\cdot1) -3\cdot(3\cdot(-5) -(-5)\cdot(-1)) +(-7)\cdot(3\cdot1 - 4\cdot(-1)) = 0 -3\cdot(-20) -7\cdot7 = 60 -49 = 11.

Passo 4

Calcular M_{21}. O menor é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 4 & -5 \\\\ -1 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
M_{21} = 1\cdot(4\cdot(-5) -(-5)\cdot1) -2\cdot(3\cdot(-5) -(-5)\cdot(-1)) +(-1)\cdot(3\cdot1 -4\cdot(-1)) = -15 -2\cdot(-20) -7 = -15 +40 -7 = 18.

Passo 5

Calcular M_{31}. O menor é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 3 & -7 \\\\ -1 & 1 & -5 \end{pmatrix}.
O determinante vale
M_{31} = 1\cdot(3\cdot(-5) -(-7)\cdot1) -2\cdot(0\cdot(-5) -(-7)\cdot(-1)) +(-1)\cdot(0\cdot1 -3\cdot(-1)) = -8 +14 -3 = 3.

Passo 6

Substituindo na expansão:
\det A = 3\cdot11 \;-\;2\cdot18 \;+\;1\cdot3 = 33 -36 +3 = 0.

Resposta

0

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