Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
(a) A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 5 & 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[0.3em] 5 & 3\end{pmatrix}
e pede para verificar quais matrizes são invertíveis e, quando existir, encontrar a inversa. O conteúdo aqui é cálculo de determinante e aplicação da fórmula da inversa para matrizes 2\times2.]

Passo 2

Para uma matriz
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
sabemos que
\det(A) = ad - bc.
No nosso caso,
\det(A) = 2\cdot3 - 1\cdot5 = 6 - 5 = 1 \neq 0,
logo A é invertível. A fórmula da inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Substituindo a=2, b=1, c=5, d=3 e \det(A)=1, obtemos
A^{-1} = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[0.3em] -5 & 2\end{pmatrix}.]

Resposta

A é invertível e
A^{-1} = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[0.3em] -5 & 2\end{pmatrix}.]

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