Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
(d) D=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 2 \\\\ 9 & 1 & 7 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
D=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 2\\\\ 9 & 1 & 7\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede para verificar se ela é invertível e, se for, encontrar D^{-1}. O conteúdo usado será o cálculo do determinante para testar inversibilidade e o método de Gauss–Jordan para obter a inversa.

Passo 2

Calculamos o determinante de D por cofactores (ou regra de Sarrus):
\det(D) =3\cdot(1\cdot1-7\cdot0) -0\cdot(9\cdot1-7\cdot1) +2\cdot(9\cdot0-1\cdot1) =3 - 0 - 2 =1.
Como \det(D)=1\neq0, concluímos que D é invertível.

Passo 3

Para achar D^{-1} montamos a matriz aumentada (D\mid I) e aplicamos eliminação de Gauss–Jordan:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 3 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 9 & 1 & 7 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Dividimos R_1 por 3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 9 & 1 & 7 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Eliminamos abaixo de a_{11}:
R_2\leftarrow R_2-9R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-R_1
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Dividimos R_3 por \tfrac{1}{3}:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -3 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \end{array}\right].
  1. Eliminamos acima de a_{33}:
R_1\leftarrow R_1-\tfrac{2}{3}R_3,\quad R_2\leftarrow R_2-R_3
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & -3\\\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \end{array}\right].

Passo 4

A parte direita final é exatamente a inversa:
D^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ -2 & 1 & -3\\\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

D é invertível e
D^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ -2 & 1 & -3\\\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

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