Calcule o limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \ln \left(1+x^{2} y^{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \ln\bigl(1 + x^{2}y^{3}\bigr).
O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e a continuidade do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro avaliamos o limite do argumento de \ln. Observe que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}y^{3}
é o produto de x^{2} e y^{3}, ambos tendendo a zero. Logo, por propriedades de limites em várias variáveis,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}y^{3} = 0.

Passo 3

Daí segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \bigl(1 + x^{2}y^{3}\bigr) = 1 + 0 = 1.
Como a função \ln(u) é contínua em u=1, podemos passar o limite para dentro do logaritmo:

Passo 4

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \ln\bigl(1 + x^{2}y^{3}\bigr) = \ln\!\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,0)} (1 + x^{2}y^{3})\bigr) = \ln(1).

Resposta

0

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