Usando operações elementares com linhas, transforme a matriz A abaixo em uma matriz triangular superior. Em seguida, usando essa matriz triangular, calcule \operatorname{det}(A).
A=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -4 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -7 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar operações elementares de linhas para levar
A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 2 & -4 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 1 & 2 & 1 & -7 \end{pmatrix}
a uma forma triangular superior e então calcular \det(A). Lembrando que trocar duas linhas inverte o sinal do determinante, somar múltiplos de uma linha em outra não altera o determinante, e que, na forma triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Para evitar frações no primeiro pivô, trocamos a linha 1 com a linha 3. Essa troca muda o sinal do determinante. Após a troca, a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 2 & -4 & 0\\\\ 3 & 1 & 0 & -2\\\\ 1 & 2 & 1 & -7 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos o pivô 1 em posição (1,1) para zerar abaixo:
  • \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 3\,\text{R}_1
  • \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - 1\,\text{R}_1
    Isso produz
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 2 & -4 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & -8\\\\ 0 & 2 & 2 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora o pivô é 2 em (2,2). Zeramos abaixo:
  • \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \tfrac12\,\text{R}_2
  • \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - 1\,\text{R}_2
    Fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 2 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 5 & -8\\\\ 0 & 0 & 6 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, o pivô 5 em (3,3) elimina o elemento em (4,3):
\text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - \tfrac{6}{5}\,\text{R}_3 \quad\longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 2 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 5 & -8\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{3}{5} \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora a matriz está triangular superior e a única troca de linhas foi a do Passo 2. Logo,
\det(A) = (-1)\times \bigl(1\cdot 2\cdot 5\cdot \tfrac{3}{5}\bigr) = -1 \times (2\cdot 3) = -6.

Resposta

\det(A) = -6

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