Máxima distância a um ponto. Encontre o ponto na esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 mais distante do ponto (1,-1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A esfera definida por \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, ou seja todos os pontos X=(x,y,z) com \|X\|=2.
  • O ponto fixo P=(1,-1,1).
O que se pede:
  • Encontrar o ponto X da esfera que é o mais distante de P.

Passo 2

Estratégia básica (explicada devagarinho): a distância entre um ponto X e P é \|X-P\|. Como a função raiz quadrada é crescente, maximizar \|X-P\| é equivalente a maximizar o quadrado da distância \|X-P\|^{2}. Trabalhar com \|X-P\|^{2} é mais simples porque elimina a raiz e dá expressões quadráticas que a gente consegue manipular facilmente.

Passo 3

Escrever a expressão para o quadrado da distância e simplificá‑la usando que X está na esfera (logo \|X\|^{2}=4):
\|X-P\|^{2}=\|X\|^{2}-2\,X\cdot P+\|P\|^{2}.
Como \|X\|^{2}=4 (dado da esfera) e \|P\|^{2} é constante (pois P é fixo), a única parte que varia com X é -2\,X\cdot P. Assim, maximizar \|X-P\|^{2} é equivalente a minimizar X\cdot P.

Passo 4

Agora vamos minimizar o produto escalar X\cdot P sob a restrição \|X\|=2.
Usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz, que diz para quaisquer vetores A e B:
|A\cdot B|\le \|A\|\,\|B\|.
Dessa desigualdade segue que
X\cdot P \ge -\|X\|\,\|P\|.
A igualdade ocorre exatamente quando X é paralelo a -P (ou seja, X tem a mesma direção de -P).
Como \|X\|=2, o menor valor possível de X\cdot P é -2\,\|P\|, atingido quando X está na direção de -P.

Passo 5

Encontrar explicitamente essa direção: primeiro calculemos \|P\|.
\|P\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.
O vetor de norma 2 na direção de -P é
X=-2\,\frac{P}{\|P\|} = -2\,\frac{(1,-1,1)}{\sqrt{3}}.
Portanto as coordenadas de X são
X=\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}},\;\dfrac{2}{\sqrt{3}},\;-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right).

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro): \|X\|^{2}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}=3\cdot\dfrac{4}{3}=4, logo X realmente pertence à esfera. E X está exatamente do lado oposto de P em relação à origem, o que faz sentido geométrico: o ponto mais distante de P numa esfera centrada na origem é o ponto antipodal ao ponto da esfera que fica mais próximo de P.

Resposta

\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}},\;\dfrac{2}{\sqrt{3}},\;-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)

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