Máxima distância a um ponto. Encontre o ponto na esfera
mais distante do ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A esfera definida por
, ou seja todos os pontos com . - O ponto fixo
.
O que se pede:
- Encontrar o ponto
da esfera que é o mais distante de .
Passo 2
Estratégia básica (explicada devagarinho): a distância entre um ponto
e
é
. Como a função raiz quadrada é crescente, maximizar
é equivalente a maximizar o quadrado da distância
. Trabalhar com
é mais simples porque elimina a raiz e dá expressões quadráticas que a gente consegue manipular facilmente.
Passo 3
Escrever a expressão para o quadrado da distância e simplificá‑la usando que
está na esfera (logo
):
Como
(dado da esfera) e
é constante (pois
é fixo), a única parte que varia com
é
. Assim, maximizar
é equivalente a minimizar
.
Passo 4
Agora vamos minimizar o produto escalar
sob a restrição
.
Usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz, que diz para quaisquer vetores
e
:
Dessa desigualdade segue que
A igualdade ocorre exatamente quando
é paralelo a
(ou seja,
tem a mesma direção de
).
Como
, o menor valor possível de
é
, atingido quando
está na direção de
.
Passo 5
Encontrar explicitamente essa direção: primeiro calculemos
.
O vetor de norma
na direção de
é
Portanto as coordenadas de
são
Passo 6
Verificação rápida (para ficar seguro):
, logo
realmente pertence à esfera. E
está exatamente do lado oposto de
em relação à origem, o que faz sentido geométrico: o ponto mais distante de
numa esfera centrada na origem é o ponto antipodal ao ponto da esfera que fica mais próximo de
.