Extremos em uma curva. Encontre os pontos da curva
no plano
que estão mais próximos e mais distantes da origem.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos da curva
que estão mais próximos e mais distantes da origem no plano
.
Informações dadas:
- A curva é o conjunto de pontos
que satisfazem .
O que se pede:
- Pontos da curva que minimizam a distância à origem (pontos mais próximos).
- Pontos da curva que maximizam a distância à origem (pontos mais distantes).
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver ainda): para comparar distâncias, é mais simples trabalhar com o quadrado da distância à origem em vez da própria distância, porque o quadrado é uma função polinomial e tem os mesmos pontos críticos (min e max) que a distância positiva. Então vamos minimizar/maximizar a função
sujeita à restrição
Para esse tipo de problema (função a ser otimizada com uma restrição), usamos multiplicadores de Lagrange. Vou explicar o método antes de aplicar.
Passo 3
Breve aula sobre multiplicadores de Lagrange (explicação didática):
- Se queremos extremizar
sujeito à restrição , os pontos extremos ocorrem quando o gradiente de é paralelo ao gradiente de . Isso dá a equação
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número real que ajusta a direção). Intuitivamente,
aponta na direção de maior aumento de
e
é normal à curva de restrição; se os dois são paralelos, não há movimento ao longo da curva que aumente ou diminua
primeiro ordem — ou seja, é um candidato a extremo.
- Além dessa igualdade vetorial, a restrição
deve ser satisfeita. - Vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 4
Calcular gradientes (mostrando cada componente):
A condição de Lagrange é
Isso equivale ao sistema de duas equações escalares:
junto com a restrição
Passo 5
Resolver o sistema de equações: primeiro manipular as duas equações de Lagrange para eliminar
.
Supondo que os denominadores abaixo não anulem (vamos checar casos especiais depois), podemos escrever
Igualando:
Simplificando o fator
em ambos os lados:
Fazendo multiplicação cruzada:
Expandindo ambos os lados:
Cancelando
em ambos os lados:
Logo
Precaução sobre denominadores: os denominadores
e
podem ser zero? Se, por exemplo,
, então pela equação
teríamos
, então
e
implicaria
, o que viola a restrição
. Portanto os denominadores não são zero nos pontos admissíveis e o passo acima é válido.
Passo 6
Analisar os dois casos resultantes
e
.
Caso A:
.
- Substituir na restrição:
- Assim
e , ou seja os pontos são
- Calcular o quadrado da distância (valor de
) nestes pontos:
Logo a distância à origem é
(mas para comparação de extremos basta usar
).
Passo 7
Caso B:
.
- Substituir na restrição:
- Como
, os pontos são
- Calcular o quadrado da distância:
Logo a distância à origem é
.
Passo 8
Interpretar os resultados (comparação simples):
- Dos valores de
encontrados temos . Então os pontos com são os mínimos (mais próximos) e os com são os máximos (mais distantes). - Não há outros candidatos porque a curva definida por
é um conjunto fechado e limitado (função contínua em conjunto compacto), então atinge mínimo e máximo e os candidatos obtidos via Lagrange cobrem todos os possíveis extremos.
Passo 9
Resumo final dos pontos:
- Pontos mais próximos da origem:
e . - Pontos mais distantes da origem:
e .
Resposta
Pontos mais próximos:
,
Pontos mais distantes: ,
Pontos mais distantes: