Extremos em uma curva. Encontre os pontos da curva x^{2}+x y+y^{2}=1 no plano x y que estão mais próximos e mais distantes da origem.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos da curva \,x^{2}+x y+y^{2}=1\, que estão mais próximos e mais distantes da origem no plano x y.
Informações dadas:
  • A curva é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem \,x^{2}+x y+y^{2}=1\,.
O que se pede:
  • Pontos da curva que minimizam a distância à origem (pontos mais próximos).
  • Pontos da curva que maximizam a distância à origem (pontos mais distantes).

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): para comparar distâncias, é mais simples trabalhar com o quadrado da distância à origem em vez da própria distância, porque o quadrado é uma função polinomial e tem os mesmos pontos críticos (min e max) que a distância positiva. Então vamos minimizar/maximizar a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
sujeita à restrição
g(x,y)=x^{2}+x y+y^{2}-1=0.
Para esse tipo de problema (função a ser otimizada com uma restrição), usamos multiplicadores de Lagrange. Vou explicar o método antes de aplicar.

Passo 3

Breve aula sobre multiplicadores de Lagrange (explicação didática):
  • Se queremos extremizar \,f(x,y)\, sujeito à restrição \,g(x,y)=0, os pontos extremos ocorrem quando o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso dá a equação
\nabla f=\lambda \nabla g,
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real que ajusta a direção). Intuitivamente, \nabla f aponta na direção de maior aumento de f e \nabla g é normal à curva de restrição; se os dois são paralelos, não há movimento ao longo da curva que aumente ou diminua f primeiro ordem — ou seja, é um candidato a extremo.
  • Além dessa igualdade vetorial, a restrição \,g(x,y)=0\, deve ser satisfeita.
  • Vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 4

Calcular gradientes (mostrando cada componente):
\nabla f=(\partial_{x}f,\partial_{y}f)=(2x,2y),
\nabla g=(\partial_{x}g,\partial_{y}g)=(2x+y,\;x+2y).
A condição de Lagrange é
(2x,2y)=\lambda(2x+y,\;x+2y).
Isso equivale ao sistema de duas equações escalares:
2x=\lambda(2x+y),
2y=\lambda(x+2y),
junto com a restrição
x^{2}+x y+y^{2}=1.

Passo 5

Resolver o sistema de equações: primeiro manipular as duas equações de Lagrange para eliminar \lambda.
Supondo que os denominadores abaixo não anulem (vamos checar casos especiais depois), podemos escrever
\lambda=\frac{2x}{2x+y} \quad\text{e}\quad \lambda=\frac{2y}{x+2y}.
Igualando:
\frac{2x}{2x+y}=\frac{2y}{x+2y}.
Simplificando o fator 2 em ambos os lados:
\frac{x}{2x+y}=\frac{y}{x+2y}.
Fazendo multiplicação cruzada:
x(x+2y)=y(2x+y).
Expandindo ambos os lados:
x^{2}+2xy = 2xy + y^{2}.
Cancelando 2xy em ambos os lados:
x^{2}=y^{2}.
Logo
x=\pm y.
Precaução sobre denominadores: os denominadores 2x+y e x+2y podem ser zero? Se, por exemplo, 2x+y=0, então pela equação 2x=\lambda(2x+y) teríamos 2x=0, então x=0 e 2x+y=0 implicaria y=0, o que viola a restrição x^{2}+xy+y^{2}=1. Portanto os denominadores não são zero nos pontos admissíveis e o passo acima é válido.

Passo 6

Analisar os dois casos resultantes x=y e x=-y.
Caso A: x=y.
  • Substituir na restrição:
x^{2}+x\cdot x + x^{2}=3x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{3}.
  • Assim x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} e y=x, ou seja os pontos são
\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\quad\text{e}\quad \left(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
  • Calcular o quadrado da distância (valor de f) nestes pontos:
f=x^{2}+y^{2}=2x^{2}=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Logo a distância à origem é \sqrt{\tfrac{2}{3}} (mas para comparação de extremos basta usar f).

Passo 7

Caso B: x=-y.
  • Substituir na restrição:
x^{2}+x(-x)+(-x)^{2}=x^{2}-x^{2}+x^{2}=x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1.
  • Como y=-x, os pontos são
(1,-1)\quad\text{e}\quad (-1,1).
  • Calcular o quadrado da distância:
f=x^{2}+y^{2}=1+1=2.
Logo a distância à origem é \sqrt{2}.

Passo 8

Interpretar os resultados (comparação simples):
  • Dos valores de f encontrados temos \tfrac{2}{3}<2. Então os pontos com f=\tfrac{2}{3} são os mínimos (mais próximos) e os com f=2 são os máximos (mais distantes).
  • Não há outros candidatos porque a curva definida por \,x^{2}+x y+y^{2}=1\, é um conjunto fechado e limitado (função contínua em conjunto compacto), então f atinge mínimo e máximo e os candidatos obtidos via Lagrange cobrem todos os possíveis extremos.

Passo 9

Resumo final dos pontos:
  • Pontos mais próximos da origem: \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) e \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right).
  • Pontos mais distantes da origem: (1,-1) e (-1,1).

Resposta

Pontos mais próximos: \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right), \left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)
Pontos mais distantes: (1,-1), (-1,1)

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