Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar:
Máximo em uma reta. O valor máximo de x y, sujeito à restrição x+y=16.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor máximo de x y sujeito à restrição x+y=16.
Informações dadas:
  • Função objetivo: f(x,y)=xy.
  • Restrição: x+y=16.
    O que se quer: o ponto (x,y) que maximiza f sob a restrição e o valor máximo de xy.

Passo 2

Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática): quando se quer otimizar uma função f(x,y) sujeita a uma restrição g(x,y)=0, pontos candidatos satisfazem a condição de que o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Isso se escreve como
\nabla f = \lambda \nabla g,
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número que ajusta a proporcionalidade). Intuitivamente, isso significa que, no ponto ótimo, qualquer pequena variação admissível que mantenha a restrição não aumenta f.

Passo 3

Defino a função de restrição
g(x,y)=x+y-16,
e a Lagrangiana (uma forma conveniente de escrever o sistema):
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=xy-\lambda(x+y-16).
Aqui \lambda é a incógnita adicional. O sinal negativo é só convenção; tanto faz usar +\lambda(\cdot) ou -\lambda(\cdot), o sistema resultante é equivalente.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais da Lagrangiana e igualamos a zero (condições de estação):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=y-\lambda=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=x-\lambda=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x+y-16)=0,
que é equivalente à própria restrição
x+y-16=0.

Passo 5

Do sistema acima obtemos de \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0 e \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=0:
y=\lambda,\qquad x=\lambda \quad\Rightarrow\quad x=y.
Substituindo na restrição x+y=16
2x=16\quad\Rightarrow\quad x=8,
e então
y=8.
O multiplicador vale \lambda=8, mas o que interessa é o ponto (x,y)=(8,8).

Passo 6

Verificação de que é máximo (uma explicação simples que dá segurança na prova): eliminar y pela restrição y=16-x e estudar a função de uma variável
f(x)=x(16-x)=16x-x^2.
Derivando,
f'(x)=16-2x,
zero em x=8. A segunda derivada é
f''(x)=-2<0,
logo x=8 é um máximo local; como f(x) é uma parábola voltada para baixo, esse é também o máximo global ao longo da reta x+y=16. Calculando o valor:
f(8)=8\cdot(16-8)=8\cdot 8=64.

Passo 7

Interpretação final e dica rápida para prova: sempre que a restrição for linear e a função objetiva for simétrica como xy, o método de Lagrange normalmente dá x=y; também é útil lembrar da substituição y=16-x para verificar se é máximo/minimo de forma direta.

Resposta

(x,y)=(8,8)
xy=64

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