Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar:
Máximo em uma reta. O valor máximo de
, sujeito à restrição
.
Máximo em uma reta. O valor máximo de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor máximo de
sujeito à restrição
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função objetivo:
. - Restrição:
.
O que se quer: o pontoque maximiza sob a restrição e o valor máximo de .
Passo 2
Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática): quando se quer otimizar uma função
sujeita a uma restrição
, pontos candidatos satisfazem a condição de que o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Isso se escreve como
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número que ajusta a proporcionalidade). Intuitivamente, isso significa que, no ponto ótimo, qualquer pequena variação admissível que mantenha a restrição não aumenta
.
Passo 3
Defino a função de restrição
e a Lagrangiana (uma forma conveniente de escrever o sistema):
Aqui
é a incógnita adicional. O sinal negativo é só convenção; tanto faz usar
ou
, o sistema resultante é equivalente.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais da Lagrangiana e igualamos a zero (condições de estação):
que é equivalente à própria restrição
Passo 5
Do sistema acima obtemos de
e
:
Substituindo na restrição
dá
e então
O multiplicador vale
, mas o que interessa é o ponto
.
Passo 6
Verificação de que é máximo (uma explicação simples que dá segurança na prova): eliminar
pela restrição
e estudar a função de uma variável
Derivando,
zero em
. A segunda derivada é
logo
é um máximo local; como
é uma parábola voltada para baixo, esse é também o máximo global ao longo da reta
. Calculando o valor:
Passo 7
Interpretação final e dica rápida para prova: sempre que a restrição for linear e a função objetiva for simétrica como
, o método de Lagrange normalmente dá
; também é útil lembrar da substituição
para verificar se é máximo/minimo de forma direta.