(a) Qual a energia cinética de uma partícula alfa que possui o mesmo alcance que um próton de 1,0 \mathrm{MeV} no ar? (b) Quais as velocidades das duas partículas? Considere \mathrm{c}=3 ; 0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) A energia cinética de uma partícula alfa que tenha o mesmo alcance que um próton de 1{,}0\\ \mathrm{MeV} no ar.
(b) As velocidades do próton e da partícula alfa.
O conteúdo principal é a relação entre alcance e energia para partículas carregadas e a fórmula da velocidade em função da energia cinética.

Passo 2

Para partículas rápidas, o alcance R em um mesmo meio satisfaz, em primeira aproximação,
R \propto \int \frac{dE}{S(E)}\quad\text{com}\quad S(E)\propto \frac{z^2}{v^2}\,,
onde z é a carga, v a velocidade e S(E) o poder de parada. Isso leva à escala
R(E)\propto \frac{E^2}{z^2\,m}\!,
pois v^2=2E/m.

Passo 3

Igualando os alcances do próton z_p=1, m_p e da partícula alfa z_\alpha=2, m_\alpha=4\,m_p, exige
\frac{E_p^2}{1^2\,m_p} \;=\;\frac{E_\alpha^2}{2^2\,(4\,m_p)} \quad\Longrightarrow\quad E_\alpha^2 = E_p^2\,(2^2\cdot4) =16\,E_p^2 \quad\Longrightarrow\quad E_\alpha =4\,E_p.
Como E_p=1{,}0\\ \mathrm{MeV}, segue E_\alpha=4{,}0\\ \mathrm{MeV}.

Passo 4

A velocidade de uma partícula não-relativística é dada por
v = \sqrt{\frac{2E}{m}}.

Passo 5

Para o próton:
E_p =1{,}0\\ \mathrm{MeV}=1{,}0\times10^{6}\times1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J} =1{,}602\times10^{-13}\\ \mathrm{J},
m_p =1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
v_p =\sqrt{\frac{2\,(1{,}602\times10^{-13})}{1{,}67\times10^{-27}}} \approx1{,}38\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} \approx0{,}046\,c.

Passo 6

Para a partícula alfa:
E_\alpha=4{,}0\\ \mathrm{MeV}=4\,(1{,}602\times10^{-13})\\ \mathrm{J} =6{,}408\times10^{-13}\\ \mathrm{J},
m_\alpha=4\,m_p=6{,}68\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
v_\alpha =\sqrt{\frac{2\,(6{,}408\times10^{-13})}{6{,}68\times10^{-27}}} =\sqrt{\frac{4\,(1{,}602\times10^{-13})}{4\,(1{,}67\times10^{-27})}} =1{,}38\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} \approx0{,}046\,c.
Observe que v_\alpha =v_p, tal como a dedução geral indicava.

Resposta

(a) E_\alpha=4{,}0\\ \mathrm{MeV}.
(b) v_p =v_\alpha\approx1{,}38\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}046\,c.

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