1. Maximizar Z
    \operatorname{Max} Z=8 x_{1}+10 x_{2}

sujeito `a :

\begin{aligned} -x_{1}+x_{2} & \geq 2 \\ 4 x_{1}+5 x_{2} & \leq 20 \\ x_{1} & \leq 6 \\ x_{2} & \geq 4 \\ x_{1}, x_{2} & \geq 0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o problema de programação linear
\text{Maximize }Z = 8x_{1} + 10x_{2}
sujeito a
-x_{1} + x_{2} \ge 2,\quad 4x_{1} + 5x_{2} \le 20,\quad x_{1} \le 6,\quad x_{2} \ge 4,\quad x_{1},x_{2} \ge 0.
Como estamos em duas variáveis, vamos usar o método dos vértices: a região factível é convexa e o ótimo ocorre em um de seus vértices.

Passo 2

Transformamos as restrições em limites para x_{2} em função de x_{1}. Da desigualdade -x_{1}+x_{2}\ge2 temos
x_{2}\ge x_{1}+2,
e de 4x_{1}+5x_{2}\le20 vem
x_{2}\le \frac{20-4x_{1}}5.
Também valem
x_{2}\ge4, \quad 0\le x_{1}\le6.
Logo, para cada x_{1}\in[0,6],
x_{2}\in\Bigl[\max(x_{1}+2,\;4),\;\frac{20-4x_{1}}5\Bigr].

Passo 3

Procuramos os x_{1} tais que o intervalo de x_{2} não seja vazio, ou seja,
\max(x_{1}+2,\;4)\;\le\;\frac{20-4x_{1}}5.
Caso x_{1}\le2, temos \max(x_{1}+2,4)=4 e
4 \le \frac{20-4x_{1}}5 \;\Longleftrightarrow\; 20 \le 20-4x_{1} \;\Longleftrightarrow\; x_{1}\le0.
Como x_{1}\ge0, resta x_{1}=0.
Se x_{1}\ge2, então \max(x_{1}+2,4)=x_{1}+2 e
x_{1}+2 \le \frac{20-4x_{1}}5 \;\Longleftrightarrow\; 9x_{1}\le10 \;\Longleftrightarrow\; x_{1}\le\frac{10}{9},
que é incompatível com x_{1}\ge2. Portanto, o único candidato é x_{1}=0.

Passo 4

Substituindo x_{1}=0 no intervalo de x_{2} obtemos
x_{2}\ge\max(0+2,4)=4, \quad x_{2}\le\frac{20-4\cdot0}{5}=4,
logo x_{2}=4. A única solução factível é (x_{1},x_{2})=(0,4).

Passo 5

Calculamos o valor de Z nesse ponto:
Z = 8\cdot0 + 10\cdot4 = 40.

Resposta

A solução ótima é
(x_{1},x_{2}) = (0,4),
com valor máximo
Z_{\max} = 40.

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