1. Minimizar Z
\begin{aligned} \operatorname{Min} Z & =x_{1}+2 x_{2} \\\ \text { sujeito`a } & : \\\ x_{1}+x_{2} & \geq 1 \\\\ -5 x_{1}+2 x_{2} & \geq-10 \text { Quando o lado direito da desigualdade 'e negativo, multiplique a inequa, }{ }^{\wedge} \text { ao por (-1). } \\\\ 3 x_{1}+5 x_{2} & \geq 15 \\\ x_{1}, x_{2} & \geq 0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede minimizar
Z = x_{1} + 2\,x_{2}
sujeito às restrições
\begin{cases} x_{1}+x_{2}\ge1,\\\\ -5\,x_{1}+2\,x_{2}\ge-10,\\\\ 3\,x_{1}+5\,x_{2}\ge15,\\\ x_{1},x_{2}\ge0. \end{cases}
Isso é um problema de Programação Linear em duas variáveis; pelo Teorema Fundamental, o valor ótimo (mínimo) ocorre num vértice da região viável. Vamos achar esses vértices e avaliar Z.

Passo 2

Para trabalhar de forma padrão, note que a segunda desigualdade tem lado direito negativo. Multiplicamos por -1 e invertemos o sinal da desigualdade:
-5\,x_{1}+2\,x_{2}\ge-10 \quad\Longrightarrow\quad 5\,x_{1}-2\,x_{2}\le10.
As restrições passam a ser
\begin{cases} x_{1}+x_{2}\ge1,\\\\ 5\,x_{1}-2\,x_{2}\le10,\\\\ 3\,x_{1}+5\,x_{2}\ge15,\\\ x_{1},x_{2}\ge0. \end{cases}

Passo 3

Para achar os vértices, igualamos pares de restrições e verificamos viabilidade:
  1. Interseção de
    3\,x_{1}+5\,x_{2}=15 \quad\text{e}\quad 5\,x_{1}-2\,x_{2}=10.
    Resolve-se o sistema e obtém-se
    x_{1}=\frac{80}{31},\quad x_{2}=\frac{45}{31}.
    Verifica-se que esse ponto satisfaz todas as desigualdades e x_{1},x_{2}\ge0, logo é vértice viável.
  2. Interseção de
    x_{1}=0 \quad\text{com}\quad 3\,x_{1}+5\,x_{2}=15
    x_{1}=0,\quad x_{2}=3,
    que também satisfaz todas as desigualdades (inclusive x_{1}+x_{2}\ge1 e 5x_{1}-2x_{2}\le10), logo é outro vértice viável.
As demais interseções (por exemplo envolvendo x_{2}=0 ou x_{1}+x_{2}=1) geram pontos com coordenada negativa ou violam alguma restrição, portanto não entram na região.

Passo 4

Avaliaremos Z=x_{1}+2x_{2} nesses vértices viáveis:
  • Em \bigl(0,3\bigr): Z = 0 + 2\cdot3 = 6.
  • Em \Bigl(\tfrac{80}{31},\tfrac{45}{31}\Bigr): Z = \frac{80}{31} + 2\cdot\frac{45}{31} = \frac{80 + 90}{31} = \frac{170}{31}\approx5{,}48.
O menor valor de Z é \tfrac{170}{31}.

Resposta

x_{1} = \tfrac{80}{31},\;x_{2} = \tfrac{45}{31},\;Z_{\min} = \tfrac{170}{31}.

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