Para maximizar a produção e minimizar os custos de bombeamento, o petróleo bruto é aquecido para reduzir sua viscosidade durante o transporte de um campo de produção.
Considere uma configuração tubo em tubo (pipe-in-pipe) consistindo em tubos de aço concêntricos com um material isolante intermediário. O tubo interno é usado para transportar petróleo bruto quente através da água fria do oceano. O tubo de aço interno ( \mathrm{k}_{\mathrm{s}}=35 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} ) tem diâmetro interno de \mathrm{D}_{\mathrm{i}, 1}=150 \mathrm{~mm} e espessura de parede t_{i}=10 \mathrm{~mm}, enquanto o tubo de aço externo tem diâmetro interno de D_{i, 2}=250 \mathrm{~mm} \mathrm{e} parede de espessura \mathrm{t}_{\mathrm{o}}=\mathrm{t}_{\mathrm{i}}. Determine a temperatura máxima permitida do petróleo bruto para garantir que o isolamento de espuma de poliuretano ( \mathrm{k}_{\mathrm{p}}=0,075 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K} ) entre os dois tubos não exceda sua temperatura máxima de serviço de \mathrm{T}_{p, \max }=70^{\circ} \mathrm{C}. A água do oceano está em T_{\infty}, o=-5^{\circ} \mathrm{C} e fornece um coeficiente de transferência de calor por convecção externa de \mathrm{h}_{\mathrm{o}}=500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{K}. O coeficiente de convecção associado ao fluxo de petróleo bruto é \mathrm{h}_{\mathrm{i}}=450 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{K}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que preciso usar na resolução).
  • Dados geométricos e propriedades:
    • Tubo interno (aço): condutividade térmica \,k_s=35\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}.
    • Diâmetro interno do tubo interno: \,D_{i,1}=150\\ \mathrm{mm} = 0{,}150\\ \mathrm{m}.
    • Espessura da parede do tubo interno: \,t_i=10\\ \mathrm{mm} = 0{,}010\\ \mathrm{m}.
    • Tubo externo (aço): diâmetro interno \,D_{i,2}=250\\ \mathrm{mm} = 0{,}250\\ \mathrm{m} e espessura da parede \,t_o=t_i=0{,}010\\ \mathrm{m}.
    • Isolante (espuma poliuretano): condutividade térmica \,k_p=0{,}075\\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}.
  • Condições de contorno:
    • Temperatura do mar (fluido externo): \,T_{\infty,o}=-5^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de convecção externo: \,h_o=500\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
    • Coeficiente de convecção interno (óleo): \,h_i=450\\ \mathrm{W\,m^{-2}K^{-1}}.
  • Requisito:
    • Temperatura máxima permissível do isolante: \,T_{p,\max}=70^\circ\mathrm{C}.
    • Determinar a temperatura máxima permitida do petróleo bruto (temperatura do fluido interno) de modo que o isolante não exceda \,70^\circ\mathrm{C}.
  • Observações úteis:
    • Trabalho em regime estacionário e com simetria cilíndrica.
    • Natural fazer o balanço por unidade de comprimento (comprimento L=1\\ \mathrm{m}), montando a rede de resistências térmicas em série da superfície interna para o ambiente externo.

Passo 2

Modelo físico e desenho mental da rede de resistências (explicando as ideias).
  • O caminho da transferência de calor do óleo quente até a água é:
    1. Convecção óleo → superfície interna do tubo interno.
    2. Condução radial através da parede do tubo interno (aço).
    3. Condução radial através do isolante (poliuretano) entre os dois tubos.
    4. Condução radial através da parede do tubo externo (aço).
    5. Convecção da superfície externa do tubo externo para a água do mar.
  • Cada etapa corresponde a uma resistência térmica por unidade de comprimento:
    • Resistência convectiva interna: \,R_{\mathrm{conv},i}=\dfrac{1}{h_i A_{i}} com A_i=2\pi r_{i,\text{int}} L.
    • Resistência de condução cilíndrica (entre raios r_1 e r_2): \,R_{\mathrm{cond}}=\dfrac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k L}.
    • Resistência convectiva externa: \,R_{\mathrm{conv},o}=\dfrac{1}{h_o A_o} com A_o=2\pi r_{o,\text{ext}} L.
  • Objetivo numérico: obter a relação entre \,T_{\text{oil}} (temperatura do petróleo) e \,T_{\infty,o} sabendo que a temperatura do isolante na sua face interna (próxima ao tubo interno) deve ser \,T_{p}=70^\circ\mathrm{C}. Chamarei essa temperatura de referência \,T_{r1}.

Passo 3

Definir raios e áreas com conversões e valores numéricos (tudo em TeX).
  • Raios (m):
    • raio interno do tubo interno: \,r_{i,\text{int}}=\dfrac{D_{i,1}}{2}=\dfrac{0{,}150}{2}=0{,}075\\ \mathrm{m}.
    • raio externo do tubo interno (superfície interna do isolante): \,r_{s1}=r_{i,\text{int}}+t_i=0{,}075+0{,}010=0{,}085\\ \mathrm{m}.
    • raio interno do tubo externo (superfície externa do isolante): \,r_{s2}=\dfrac{D_{i,2}}{2}=\dfrac{0{,}250}{2}=0{,}125\\ \mathrm{m}.
    • raio externo do tubo externo (superfície exposta ao mar): \,r_{o,\text{ext}}=r_{s2}+t_o=0{,}125+0{,}010=0{,}135\\ \mathrm{m}.
  • Áreas de convecção por unidade de comprimento ( L=1\\ \mathrm{m}):
    • \,A_i=2\pi r_{i,\text{int}}L=2\pi(0{,}075)(1)=2\pi(0{,}075)\\ \mathrm{m^2}.
    • \,A_o=2\pi r_{o,\text{ext}}L=2\pi(0{,}135)(1)=2\pi(0{,}135)\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Escrever as expressões matemáticas das resistências por unidade de comprimento e explicar cada símbolo.
  • Resistência convectiva interna: R_{\mathrm{conv},i}=\dfrac{1}{h_i A_i}=\dfrac{1}{h_i\,(2\pi r_{i,\text{int}}L)}.Aqui \,h_i é o coeficiente convectivo interno, \,A_i é a área de troca interna por comprimento L.
  • Condução através da parede do tubo interno (aço) entre raios r_{i,\text{int}} e r_{s1}: R_{\mathrm{cond},s1}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_{s1}}{r_{i,\text{int}}}\right)}{2\pi k_s L}.Onde \,k_s é a condutividade do aço.
  • Condução através do isolante (entre r_{s1} e r_{s2}): R_{\mathrm{ins}}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_{s2}}{r_{s1}}\right)}{2\pi k_p L}.Onde \,k_p é a condutividade do poliuretano.
  • Condução através da parede do tubo externo (aço) entre r_{s2} e r_{o,\text{ext}}: R_{\mathrm{cond},s2}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o,\text{ext}}}{r_{s2}}\right)}{2\pi k_s L}.
  • Resistência convectiva externa: R_{\mathrm{conv},o}=\dfrac{1}{h_o A_o}=\dfrac{1}{h_o\,(2\pi r_{o,\text{ext}}L)}.
  • A resistência total entre a face interna do isolante ( r_{s1}) e o mar é a soma: R_{r1\to\infty}=R_{\mathrm{ins}}+R_{\mathrm{cond},s2}+R_{\mathrm{conv},o}.
  • A resistência entre o óleo e a face interna do isolante é: R_{\text{oil}\to r1}=R_{\mathrm{conv},i}+R_{\mathrm{cond},s1}.

Passo 5

Calcular numericamente cada resistência (por unidade de comprimento, com L=1\\ \mathrm{m}). Vou mostrar as contas passo a passo.
  • Primeiro calcule as áreas numéricas: A_i=2\pi(0{,}075)=2\pi\cdot 0{,}075\approx 0{,}4712389\\ \mathrm{m^2}.
A_o=2\pi(0{,}135)=2\pi\cdot 0{,}135\approx 0{,}8482300\\ \mathrm{m^2}.
  • Resistência convectiva interna: R_{\mathrm{conv},i}=\dfrac{1}{450\cdot 0{,}4712389}\approx 0{,}0047136\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
  • Resistência de condução através da parede interna do aço: R_{\mathrm{cond},s1}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}085}{0{,}075}\right)}{2\pi\cdot 35}\approx \dfrac{0{,}1256572}{219{,}9115}\approx 0{,}0005715\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
  • Resistência do isolante: R_{\mathrm{ins}}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}125}{0{,}085}\right)}{2\pi\cdot 0{,}075}\approx \dfrac{0{,}3856625}{0{,}4712389}\approx 0{,}818566\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
  • Resistência de condução através da parede externa do aço: R_{\mathrm{cond},s2}=\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}135}{0{,}125}\right)}{2\pi\cdot 35}\approx \dfrac{0{,}0769610}{219{,}9115}\approx 0{,}0003500\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
  • Resistência convectiva externa: R_{\mathrm{conv},o}=\dfrac{1}{500\cdot 0{,}8482300}\approx 0{,}0023580\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.

Passo 6

Somar as resistências relevantes para separar o circuito em duas partes e explicar o raciocínio para encontrar \,T_{\text{oil,max}}.
  • Resistência do nó r_{s1} (face interna do isolante) até o mar: R_{r1\to\infty}=R_{\mathrm{ins}}+R_{\mathrm{cond},s2}+R_{\mathrm{conv},o} \approx 0{,}818566+0{,}0003500+0{,}0023580\approx 0{,}821274.
  • Resistência do óleo até o nó r_{s1}: R_{\text{oil}\to r1}=R_{\mathrm{conv},i}+R_{\mathrm{cond},s1} \approx 0{,}0047136+0{,}0005715\approx 0{,}0052851.
  • Estratégia para encontrar \,T_{\text{oil,max}}: supondo que a face interna do isolante está a \,T_{r1}=T_{p,\max}=70^\circ\mathrm{C}, primeiro calculo a resistência do trecho de r_{s1} ao mar e a taxa de calor por unidade de comprimento \,q' que flui para o mar: q'=\dfrac{T_{r1}-T_{\infty,o}}{R_{r1\to\infty}}.Em seguida a queda de temperatura entre o óleo e r_{s1} é \,q' R_{\text{oil}\to r1}, então a temperatura do óleo máxima será T_{\text{oil,max}}=T_{r1}+q'R_{\text{oil}\to r1}.

Passo 7

Calcular numericamente \,q' e, em seguida, \,T_{\text{oil,max}}.
  • Primeiro a diferença de temperatura: T_{r1}-T_{\infty,o}=70-(-5)=75\\ \mathrm{K}.
  • Fluxo por unidade de comprimento: q'=\dfrac{75}{0{,}821274}\approx 91{,}295\\ \mathrm{W\,m^{-1}}.
  • Queda de temperatura entre o óleo e o nó r_{s1}: \Delta T_{\text{oil}\to r1}=q'R_{\text{oil}\to r1}\approx 91{,}295\cdot 0{,}0052851\approx 0{,}4825\\ \mathrm{K}.
  • Portanto a temperatura máxima do óleo permissível é: T_{\text{oil,max}}=T_{r1}+\Delta T_{\text{oil}\to r1}\approx 70+0{,}4825\approx 70{,}4825^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação final curta e encorajamento.
  • Resultado mostra que, devido à pequena queda de temperatura na parede de aço e na convecção interna, o petróleo pode estar ligeiramente acima de 70^\circ\mathrm{C} sem que a face interna do isolante exceda 70^\circ\mathrm{C}. Isso é razoável fisicamente: o isolante atingirá 70^\circ\mathrm{C} enquanto o fluido interno estará um pouco mais quente.
  • Você conseguiu chegar aqui! É sempre bom checar unidades e que as áreas usadas são as corretas (áreas cilíndricas por unidade de comprimento).

Resposta

T_{\text{oil,max}}\approx 70{,}48^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados