Questão 1: Vapor a 200^{\circ} \mathrm{C} flui em um tubo de ferro fundido ( k=80 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) cujos diâmetros interno e externo são \mathrm{D}_{1}=0,20 \mathrm{~m} e \mathrm{D}_{2}=0,22 \mathrm{~m}, respectivamente. O tubo é coberto com isolante de lã de vidro ( k=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 2 cm de espessura. O coeficiente de transferência de calor na superfície interna é 75 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Se a temperatura na interface entre o tubo de ferro e o isolamento é 194^{\circ} \mathrm{C}, calcule a temperatura na superficie externa do isolamento.

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura do vapor: T_{\text{vapor}}=200^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do ferro fundido (tubo): k_{\text{ferro}}=80\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Diâmetro interno do tubo: D_{1}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro externo do tubo: D_{2}=0{,}22\\ \mathrm{m}.
  • Isolamento (lã de vidro) com k_{\text{iso}}=0{,}05\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Espessura do isolamento: t_{\text{iso}}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente convectivo na superfície interna: h_{i}=75\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Temperatura na interface tubo–isolamento (ou seja, superfície externa do tubo): T_{\text{int}}=194^\circ\mathrm{C}.
O que se pede:
  • Calcular a temperatura na superfície externa do isolamento (ou seja, a temperatura na face externa do isolamento).
Observação importante: o enunciado dá T_{\text{int}}. Vou usar o balanço de resistências térmicas em série (convecção interna + condução no tubo + condução no isolamento) para obter o fluxo térmico por unidade de comprimento e, a partir disso, a queda de temperatura no isolamento que leva à temperatura externa do isolamento.

Passo 2

Modelagem e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
Em regime estacionário, o fluxo térmico radial por unidade de comprimento q' (em \mathrm{W/m}) é o mesmo em todas as camadas. Trataremos por unidade de comprimento L=1\\ \mathrm{m}.
  1. Resistência convectiva interna por unidade de comprimento:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_{i}A_{i}},
onde h_{i} é o coeficiente convectivo interno e A_{i} é a área de troca por unidade de comprimento, que para um tubo é o perímetro interno:
A_{i}=\pi D_{1}.
Unidade de R_{\text{conv}}: \mathrm{K\cdot m / W} (queda de temperatura por fluxo por comprimento).
  1. Resistência por condução em casca cilíndrica (entre raio r_1 e r_2) por unidade de comprimento:
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2\pi k},
onde k é a condutividade térmica do material. Para o tubo usamos r_1=\dfrac{D_{1}}{2} e r_2=\dfrac{D_{2}}{2}. Para o isolamento usaremos r_2 como raio externo do tubo e r_3 como raio externo do isolamento.
  1. Relação entre quedas de temperatura e fluxo:
q'=\frac{T_{\text{vapor}}-T_{\text{int}}}{R_{\text{conv}}+R_{\text{cond, tubo}}}
pois T_{\text{int}} é a temperatura na superfície externa do tubo (interface tubo–isolamento). Em seguida a queda através do isolamento é
\Delta T_{\text{iso}}=q'\,R_{\text{cond, iso}},
e então
T_{\text{externo}}=T_{\text{int}}-\Delta T_{\text{iso}}.

Passo 3

Cálculo dos raios e áreas geométricas (peguei os diâmetros e espessura do enunciado).
  • Raios:
r_{1}=\frac{D_{1}}{2}=\frac{0{,}20}{2}=0{,}10\\ \mathrm{m},
r_{2}=\frac{D_{2}}{2}=\frac{0{,}22}{2}=0{,}11\\ \mathrm{m},
r_{3}=r_{2}+t_{\text{iso}}=0{,}11+0{,}02=0{,}13\\ \mathrm{m}.
  • Área interna por unidade de comprimento (perímetro interno):
A_{i}=\pi D_{1}=\pi(0{,}20)=0{,}6283185\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a resistência convectiva interna R_{\text{conv}}.
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_{i}A_{i}}=\frac{1}{75\cdot\pi\cdot 0{,}20}.
Vamos calcular numericamente:
h_{i}A_{i}=75\cdot\pi\cdot 0{,}20=75\cdot 0{,}6283185=47{,}1239\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
R_{\text{conv}}=\frac{1}{47{,}1239}=0{,}02122\\ \mathrm{K\cdot m/W}.

Passo 5

Calcular a resistência por condução no tubo R_{\text{cond,tubo}}.
Fórmula:
R_{\text{cond,tubo}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}{2\pi k_{\text{ferro}}}.
Substituindo:
\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}11}{0{,}10}\right)=\ln(1{,}1)=0{,}09531018.
2\pi k_{\text{ferro}}=2\pi\cdot 80=502{,}6548.
R_{\text{cond,tubo}}=\frac{0{,}09531018}{502{,}6548}=0{,}0001896\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Note que essa resistência é muito pequena comparada à resistência convectiva interna porque o ferro é um bom condutor e a parede é fina.

Passo 6

Calcular o fluxo térmico por unidade de comprimento q' entre o vapor ( 200^\circ\mathrm{C}) e a interface tubo–isolamento ( 194^\circ\mathrm{C}).
Resistência total entre vapor e interface:
R_{\text{total,interno}}=R_{\text{conv}}+R_{\text{cond,tubo}}=0{,}02122+0{,}0001896=0{,}0214096\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Fluxo por unidade de comprimento:
q'=\frac{T_{\text{vapor}}-T_{\text{int}}}{R_{\text{total,interno}}}=\frac{200-194}{0{,}0214096}=\frac{6}{0{,}0214096}.
q'=280{,}3\\ \mathrm{W/m}\quad(\text{aprox.}).
Isso representa a potência removida por metro de tubo que passa do vapor até a superfície externa do tubo.

Passo 7

Calcular a resistência de condução do isolamento R_{\text{cond,iso}} e a queda de temperatura no isolamento.
Fórmula:
R_{\text{cond,iso}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{3}}{r_{2}}\right)}{2\pi k_{\text{iso}}}.
Cálculo numérico:
\ln\!\left(\frac{r_{3}}{r_{2}}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}13}{0{,}11}\right)=\ln(1{,}181818)=0{,}167054.
2\pi k_{\text{iso}}=2\pi\cdot 0{,}05=0{,}3141593.
R_{\text{cond,iso}}=\frac{0{,}167054}{0{,}3141593}=0{,}5319\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Queda de temperatura através do isolamento por unidade de comprimento:
\Delta T_{\text{iso}}=q'\,R_{\text{cond,iso}}=280{,}3\cdot 0{,}5319=149{,}1\\ \mathrm{K}\\ (\text{aprox.}).
Portanto a temperatura na superfície externa do isolamento é
T_{\text{externo}}=T_{\text{int}}-\Delta T_{\text{iso}}=194-149{,}1=44{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Interpretação rápida (motivacional): o isolamento tem condutividade muito baixa, então a queda de temperatura no isolamento é grande — por isso a superfície externa fica relativamente fria, perto de 45°C. Isso indica que o isolamento está fazendo bem o seu papel. Você conseguiu acompanhar as fórmulas e os passos; é só aplicar essas resistências em série e calcular!

Resposta

T_{\text{externo}}\approx 44{,}9^\circ\mathrm{C}

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