Maximize f(x, y)=x y sujeito a x+y=10

Passo 1

O enunciado pede para maximizar f(x,y)=x y sob a restrição x+y=10.
Informações dadas:
  • A função objetivo é f(x,y)=x y.
  • A restrição é a equação linear x+y=10.
  • Não foi dada nenhuma restrição extra sobre x e y (logo consideramos x,y\in\mathbb{R}).
O que é pedido:
  • Encontrar os valores de x e y que tornam f(x,y) máximo e informar o valor máximo de f.

Passo 2

Como a restrição é simples ( x+y=10), podemos expressar uma variável em função da outra e reduzir o problema a uma única variável. Isolando y da restrição:
y=10-x.
Substituindo na função objetivo obtemos uma função de uma variável:
g(x)=f(x,10-x)=x(10-x)=10x-x^{2}.
Explicação didática: transformar um problema com restrição em um problema univariado é uma técnica básica e muito prática quando a restrição permite isolar uma variável. Aqui a reta x+y=10 associa a cada x um único y, então estudar g(x) é equivalente a estudar f restrito à reta.

Passo 3

Vamos estudar g(x)=10x-x^{2}. Esta é uma função quadrática da forma
g(x)=-x^{2}+10x,
ou seja, um polinômio de grau 2 com coeficiente principal negativo. Geometricamente, o gráfico é uma parábola voltada para baixo — isso significa que ela tem um único ponto máximo (o vértice).
Métodos possíveis para encontrar o máximo: (a) cálculo de derivadas (encontrar ponto crítico e testar segunda derivada); (b) completar o quadrado para achar diretamente o vértice; (c) desigualdade AM-GM (se soubermos que x,y\ge0). Vou aplicar (a) e em seguida mostrar (b) e comentar (c) como alternativa.

Passo 4

Derivada e ponto crítico. Calcule a derivada de g:
g'(x)=10-2x.
Um ponto crítico ocorre quando g'(x)=0. Assim:
10-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=5.
Segundo teste (segunda derivada): a segunda derivada é
g''(x)=-2.
Como g''(5)=-2<0, o ponto x=5 é um máximo local. Como a parábola tem apenas um extremo, é também o máximo global na reta x+y=10.
Encontrando y a partir da restrição:
y=10-x=10-5=5.
Valor máximo:
f(5,5)=5\cdot5=25.
Explicação didática sobre derivadas: a derivada g'(x) mede a inclinação instantânea da curva. Zerar a derivada localiza pontos com inclinação zero (tal como topos ou vales). A segunda derivada indica curvatura: se for negativa, trata-se de um máximo local.

Passo 5

Método alternativo — completar o quadrado (sem derivadas). Reescrever g(x):
g(x)=10x-x^{2}=-\bigl(x^{2}-10x\bigr)=-\bigl((x-5)^{2}-25\bigr)=25-(x-5)^{2}.
Dessa forma fica claro que g(x)\le 25 porque (x-5)^{2}\ge0 para todo x, e a igualdade ocorre quando (x-5)^{2}=0, ou seja, x=5. Assim novamente obtemos o máximo 25 em x=5 e, pela restrição, y=5.
Didática sobre completar o quadrado: é uma técnica algébrica que transforma uma quadrática em forma de vértice a-(x-h)^{2} ou similar, deixando óbvio o valor máximo ou mínimo sem cálculo de derivadas.

Passo 6

Observação via desigualdade AM-GM (apenas quando x e y são não negativos): para x,y\ge0 vale
\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy},
logo
xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^{2}.
Com x+y=10 isso dá xy\le(10/2)^{2}=25, igualdade quando x=y. Assim o máximo é 25 em x=y=5. Nota: AM-GM exige x,y\ge0; no nosso caso, como a solução encontrada tem x,y\ge0, AM-GM confirma o resultado e dá uma interpretação elegante (produto maximizado quando os números são iguais).

Passo 7

Conclusão final: o valor máximo de f(x,y)=xy sob a restrição x+y=10 é 25, obtido em (x,y)=(5,5).

Resposta

O valor máximo é 25 atingido em (x,y)=(5,5).

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