Maximize
sujeito a
Passo 1
O enunciado pede para maximizar
sob a restrição
.
Informações dadas:
- A função objetivo é
. - A restrição é a equação linear
. - Não foi dada nenhuma restrição extra sobre
e (logo consideramos ).
O que é pedido:
- Encontrar os valores de
e que tornam máximo e informar o valor máximo de .
Passo 2
Como a restrição é simples (
), podemos expressar uma variável em função da outra e reduzir o problema a uma única variável. Isolando
da restrição:
Substituindo na função objetivo obtemos uma função de uma variável:
Explicação didática: transformar um problema com restrição em um problema univariado é uma técnica básica e muito prática quando a restrição permite isolar uma variável. Aqui a reta
associa a cada
um único
, então estudar
é equivalente a estudar
restrito à reta.
Passo 3
Vamos estudar
. Esta é uma função quadrática da forma
ou seja, um polinômio de grau 2 com coeficiente principal negativo. Geometricamente, o gráfico é uma parábola voltada para baixo — isso significa que ela tem um único ponto máximo (o vértice).
Métodos possíveis para encontrar o máximo: (a) cálculo de derivadas (encontrar ponto crítico e testar segunda derivada); (b) completar o quadrado para achar diretamente o vértice; (c) desigualdade AM-GM (se soubermos que
). Vou aplicar (a) e em seguida mostrar (b) e comentar (c) como alternativa.
Passo 4
Derivada e ponto crítico. Calcule a derivada de
:
Um ponto crítico ocorre quando
. Assim:
Segundo teste (segunda derivada): a segunda derivada é
Como
, o ponto
é um máximo local. Como a parábola tem apenas um extremo, é também o máximo global na reta
.
Encontrando
a partir da restrição:
Valor máximo:
Explicação didática sobre derivadas: a derivada
mede a inclinação instantânea da curva. Zerar a derivada localiza pontos com inclinação zero (tal como topos ou vales). A segunda derivada indica curvatura: se for negativa, trata-se de um máximo local.
Passo 5
Método alternativo — completar o quadrado (sem derivadas). Reescrever
:
Dessa forma fica claro que
porque
para todo
, e a igualdade ocorre quando
, ou seja,
. Assim novamente obtemos o máximo
em
e, pela restrição,
.
Didática sobre completar o quadrado: é uma técnica algébrica que transforma uma quadrática em forma de vértice
ou similar, deixando óbvio o valor máximo ou mínimo sem cálculo de derivadas.
Passo 6
Observação via desigualdade AM-GM (apenas quando
e
são não negativos): para
vale
logo
Com
isso dá
, igualdade quando
. Assim o máximo é
em
. Nota: AM-GM exige
; no nosso caso, como a solução encontrada tem
, AM-GM confirma o resultado e dá uma interpretação elegante (produto maximizado quando os números são iguais).
Passo 7
Conclusão final: o valor máximo de
sob a restrição
é
, obtido em
.
Resposta
O valor máximo é
atingido em
.