A rigidez de uma viga retangular é proporcional a x y^{3}. Se a seção deve ter-uma área A=100 \mathrm{~cm}^{2}, determine dimensões para máxima rigidez.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A rigidez é proporcional a x y^{3}, onde x e y são as dimensões retangulares da seção transversal (ambos positivos).
  • A área da seção é A=100\\ \mathrm{cm}^{2}. Ou seja, as dimensões satisfazem a restrição \,x y = 100.
  • Pedido: determinar as dimensões x e y que maximizem a rigidez (ou seja, maximizem a quantidade proporcional a x y^{3}).

Passo 2

Escolha do método: aqui a restrição é simples ( x y=100), então é mais direto eliminar uma variável (substituição) e transformar o problema em maximizar uma função de uma única variável. Isso é mais básico e suficientemente poderoso para esta questão; outra opção seria usar multiplicadores de Lagrange, que daria o mesmo resultado, porém é um pouco mais abstrato. Vou usar substituição porque é rápido e didático.

Passo 3

Formalizando o que vamos maximizar: como a rigidez é proporcional a x y^{3}, podemos tomar a função a maximizar como
f(x,y)=x y^{3}.
Pela restrição da área, temos
x y = 100 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{100}{y},
com y>0. Substituindo na função,
f\!\left(\frac{100}{y},y\right)=\frac{100}{y}\cdot y^{3}=100\,y^{2}.

Passo 4

Análise da função univariada obtida: temos agora
g(y)=100\,y^{2},\qquad y>0.
Calcule a derivada para ver onde estão máximos/minimos:
g'(y)=200\,y.
Para todo y>0 temos g'(y)>0. Isso significa que g é estritamente crescente em (0,\infty). Portanto não existe ponto interior em (0,\infty) que seja máximo local; a função tende a crescer sem limite conforme y aumenta. Em termos de limite,
\lim_{y\to\infty} g(y)=\infty.

Passo 5

Interpretação prática do resultado: matematicamente, com apenas a restrição de área fixa, a rigidez x y^{3} não tem máximo finito — ela cresce indefinidamente se y aumenta e x diminui de acordo com x=100/y. Em outras palavras, quanto maior for y (mais alta e estreita a seção), maior será a rigidez conforme a fórmula dada. Assim não existe um par (x,y) finito que maximize a rigidez; o supremo é infinito obtido quando y\to\infty e x\to0^+.

Passo 6

Conclusão prática e observação de engenharia: embora matematicamente a rigidez aumente sem limite, fisicamente há restrições adicionais (resistência ao flambagem, limites geométricos, fabricação, etc.) que limitariam y. Portanto, na prática, para maximizar a rigidez dentro de restrições reais, deve-se escolher y o maior possível permitido pelas restrições adicionais e definir x=\dfrac{100}{y}.

Resposta

Não existe máximo finito: a rigidez cresce sem limite com y. Para aumentar a rigidez, escolher y o maior possível e x=\dfrac{100}{y} (com y\to\infty,\\ x\to0^{+} a rigidez tende a infinito).

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