A rigidez de uma viga retangular é proporcional a
. Se a seção deve ter-uma área
, determine dimensões para máxima rigidez.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A rigidez é proporcional a
, onde e são as dimensões retangulares da seção transversal (ambos positivos). - A área da seção é
. Ou seja, as dimensões satisfazem a restrição . - Pedido: determinar as dimensões
e que maximizem a rigidez (ou seja, maximizem a quantidade proporcional a ).
Passo 2
Escolha do método: aqui a restrição é simples (
), então é mais direto eliminar uma variável (substituição) e transformar o problema em maximizar uma função de uma única variável. Isso é mais básico e suficientemente poderoso para esta questão; outra opção seria usar multiplicadores de Lagrange, que daria o mesmo resultado, porém é um pouco mais abstrato. Vou usar substituição porque é rápido e didático.
Passo 3
Formalizando o que vamos maximizar: como a rigidez é proporcional a
, podemos tomar a função a maximizar como
Pela restrição da área, temos
com
. Substituindo na função,
Passo 4
Análise da função univariada obtida: temos agora
Calcule a derivada para ver onde estão máximos/minimos:
Para todo
temos
. Isso significa que
é estritamente crescente em
. Portanto não existe ponto interior em
que seja máximo local; a função tende a crescer sem limite conforme
aumenta. Em termos de limite,
Passo 5
Interpretação prática do resultado: matematicamente, com apenas a restrição de área fixa, a rigidez
não tem máximo finito — ela cresce indefinidamente se
aumenta e
diminui de acordo com
. Em outras palavras, quanto maior for
(mais alta e estreita a seção), maior será a rigidez conforme a fórmula dada. Assim não existe um par
finito que maximize a rigidez; o supremo é infinito obtido quando
e
.
Passo 6
Conclusão prática e observação de engenharia: embora matematicamente a rigidez aumente sem limite, fisicamente há restrições adicionais (resistência ao flambagem, limites geométricos, fabricação, etc.) que limitariam
. Portanto, na prática, para maximizar a rigidez dentro de restrições reais, deve-se escolher
o maior possível permitido pelas restrições adicionais e definir
.
Resposta
Não existe máximo finito: a rigidez cresce sem limite com
. Para aumentar a rigidez, escolher
o maior possível e
(com
a rigidez tende a infinito).