Mostre que:
\operatorname{sen} 30=\frac{1}{2}, \quad \cos 30=\frac{\sqrt{ } 3}{2} e \operatorname{tg} 30=\frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar os valores das funções trigonométricas no ângulo de 30^\circ: \sin 30^\circ, \cos 30^\circ e \tan 30^\circ. Vamos usar geometria de triângulos e a definição de seno, cosseno e tangente em triângulo retângulo para resolver.

Passo 2

Construa um triângulo equilátero ABC de lado 2. Desenhe a altura AD de A até o lado BC. Essa altura divide o equilátero em dois triângulos retângulos congruentes, cada um com hipotenusa AB=2, cateto menor BD=1 e cateto maior AD. Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD:
AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}.

Passo 3

No triângulo retângulo ABD, o ângulo ABD mede 30^\circ, pois o triângulo original era equilátero. Assim, nesse triângulo:
– A hipotenusa é AB=2.
– O cateto oposto a 30^\circ é BD=1.
– O cateto adjacente a 30^\circ é AD=\sqrt{3}.
Pelas definições:
\sin 30^\circ = \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{BD}{AB} = \frac{1}{2},
\cos 30^\circ = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

A tangente é a razão entre seno e cosseno, ou diretamente oposto sobre adjacente:
\tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2},\quad \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \tan 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{3}.

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