P14.49 O parafuso de aço A-36 deve absorver a energia de uma massa de 2 kg que cai de uma altura h=30 mm. Se o parafuso tiver diâmetro de 4 mm e comprimento L=200 mm, determine se a tensão nele ultrapassará 175 MPa .

Passo 1

O enunciado diz que uma massa de m=2,kg cai de uma altura de h=30,mm sobre um parafuso de aço A-36 de diâmetro d=4,mm e comprimento L=200,mm, e quer saber se a máxima tensão no parafuso ultrapassa 175,MPa.
Conteúdo: energia potencial gravitacional convertida em energia de deformação elástica de um eixo em carregamento axial. Vamos precisar de:
– energia potencial \,mgh,
– energia de deformação elástica \,U=\tfrac12 F\,\delta,
– relação entre força axial F e deslocamento \delta: \delta=F\,L/(A\,E),
– área da seção A=\pi d^2/4 e módulo de Young de aço E\approx210,GPa.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal do parafuso em metros quadrados:
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi\,(0,004)^2}{4} = \pi \times 4{,}0\times10^{-6}\,/4 =1{,}2566\times10^{-5}\,\text{m}^2.
A energia potencial da massa ao cair é
E_p = mgh = 2 \times 9{,}81 \times 0{,}03 =0{,}5886\\ \text{J}.

Passo 3

A energia elástica armazenada no parafuso ao ser comprimido é
U = \frac12\,F\,\delta = \frac12\,F \Bigl(\frac{F\,L}{A\,E}\Bigr) = \frac{F^2\,L}{2\,A\,E}.
Igualando U à energia potencial E_p, temos
\frac{F^2\,L}{2\,A\,E} = mgh \quad\Longrightarrow\quad F = \sqrt{\frac{2\,A\,E\,m\,g\,h}{L}}.
Substituindo A=1{,}2566\times10^{-5},m ^2, E=210\times10^9,Pa, mgh=0{,}5886,J, L=0{,}2,m, obtém-se
F = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}2566\times10^{-5}\cdot210\times10^9\cdot0{,}5886}{0{,}2}} \approx 3{,}94\times10^3\\ \text{N}.

Passo 4

A tensão máxima no parafuso é
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{3{,}94\times10^3}{1{,}2566\times10^{-5}} \approx 3{,}14\times10^8\\ \text{Pa} =314\\ \text{MPa}.
Isso é bem maior que 175,MPa, portanto o parafuso ultrapassará a tensão admissível.

Resposta

A tensão calculada é aproximadamente 314,MPa, ou seja, ultrapassa 175,MPa.

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