O parafuso de aço A-36 deve absorver a energia de uma massa de 2 kg que cai ao longo da haste lisa de 4 mm de diâmetro e 150 mm de comprimento. Determine a altura máxima h da qual a massa pode ser solta de modo que a tensão no parafuso não ultrapasse 150 MPa .

Passo 1

O enunciado descreve uma massa m=2,kg que cai de uma altura h sobre uma haste de aço A-36, lisa, de diâmetro d=4,mm e comprimento L=150,mm. A haste se comporta elasticamente segundo a lei de Hooke, com módulo de Young E\approx210,GPa, e suporta tensão máxima \sigma_{\max}=150,MPa. Vamos modelar a haste como uma mola de rigidez k e usar conservação de energia (energia potencial gravitacional vira energia elástica) para achar h, impondo que a tensão não ultrapasse \sigma_{\max}.

Passo 2

Determinar a máxima deformação \delta_{\max} da haste sem exceder \sigma_{\max}. A tensão axial é
\sigma = \frac{F}{A}
e, pelo módulo de Young, \sigma = E\,\varepsilon com \varepsilon = \delta/L. Assim,
\delta_{\max} = \frac{\sigma_{\max}\,L}{E}\,.

Passo 3

Calcular a rigidez axial k da haste pela fórmula da mola cilíndrica:
k = \frac{A\,E}{L},
onde A = \pi d^2/4.

Passo 4

Aplicar conservação de energia entre o instante inicial (massa parada a h) e o instante de máxima compressão \delta_{\max}. A energia gravitacional perdida é
mg(h + \delta_{\max}),
e ela vira energia elástica
\frac{1}{2}\,k\,\delta_{\max}^2.
Igualando,
mg\bigl(h + \delta_{\max}\bigr) = \frac{1}{2}\,k\,\delta_{\max}^2
e isolando h:
h = \frac{\tfrac12\,k\,\delta_{\max}^2}{mg} \;-\;\delta_{\max}\,.

Passo 5

Agora colocamos valores numéricos (usar SI):
d = 4\text{ mm}=0{,}004\text{ m}, \quad L = 150\text{ mm}=0{,}15\text{ m},
A = \frac{\pi\,d^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}004)^2}{4}\approx12{,}57\times10^{-6}\,\text{m}^2,
\delta_{\max} = \frac{150\times10^6\cdot0{,}15}{210\times10^9} \approx1{,}07\times10^{-4}\,\text{m},
k = \frac{A\,E}{L} = \frac{12{,}57\times10^{-6}\times210\times10^9}{0{,}15} \approx1{,}759\times10^7\,\text{N/m},
\frac12\,k\,\delta_{\max}^2 = \tfrac12\cdot1{,}759\times10^7\cdot(1{,}07\times10^{-4})^2 \approx0{,}101\,\text{J},
mg = 2\cdot9{,}81 = 19{,}62\,\text{N},
h = \frac{0{,}101}{19{,}62} - 1{,}07\times10^{-4} \approx5{,}05\times10^{-3}\,\text{m} =5{,}05\,\text{mm}.

Resposta

A altura máxima é aproximadamente h\approx5{,}0,mm.

Exercícios de Livros Relacionados