(Mecânica Quântica) Um observável é uma característica do sistema em estudo que pode ser registrada por meio de uma medição. Cada observável está associado a um operador Hermitiano sobre \mathbb{C}^{2}, cuja matriz em relação à base canônica é H. Os estados que podem ser encontrados por meio de uma medição do observável são os autovetores de \hat{H}. Os valores esperados da medição são os autovalores correspondentes. Para operadores Hermitianos esses valores são números reais e, quando esses autovalores são distintos, então os seus autovetores correspondentes (já normalizados) formam uma base ortonormal de \mathbb{C}^{2}. Dessa forma, podemos representar um estado qualquer como combinação linear dos autovetores de \hat{H}.
Um sistema quântico de dois níveis possui seu operador Hamiltoniano descrito pela matriz \hat{\mathrm{H}}=h\left(\begin{array}{cc}a & -i b \\\ i b & -a\end{array}\right), onde a, b, h são números reais fixados.
(a) Verifique que a matriz H́ é Hermitiana.
(b) Encontre os autovalores (energias) de \hat{\mathrm{H}}.
(c) Expresse a decomposição \hat{\mathrm{H}}=P D P^{T}, onde P é uma matriz ortogonal e D é uma matriz diagonal.
Passo 1
O enunciado dá o Hamiltoniano de um qubit em \mathbb{C}^2
\hat H \;=\; h\begin{pmatrix}a & -i b \\[6pt] i b & -a\end{pmatrix},
com a,b,h\in\mathbb{R}. Precisamos (a) mostrar que \hat H é Hermitiano, (b) achar seus autovalores e (c) escrever a diagonalização
\hat H = P\,D\,P^{T},
onde P é ortogonal (normalizada) e D é diagonal.]
Passo 2
Para verificar que \hat H é Hermitiano usamos a definição \hat H^\dagger=(\hat H^{T})^*. Como
\hat H = h\begin{pmatrix}a & -i b \\\ i b & -a\end{pmatrix},
temos
\hat H^{T} = h\begin{pmatrix}a & i b \\\\ -i b & -a\end{pmatrix},
e então
\hat H^\dagger = h\,\overline{\hat H^{T}} = h\begin{pmatrix}a & -i b \\[3pt] i b & -a\end{pmatrix} = \hat H.
Logo \hat H é Hermitiano.]
Passo 3
Para os autovalores \lambda resolvemos
\det(\hat H-\lambda I)=0.
Como \mathrm{tr}\,\hat H=0 e
\det\hat H = h^2\bigl(a\cdot(-a)-(-i b)(i b)\bigr) = -h^2\bigl(a^2+b^2\bigr),