(1,0) Seja V=\mathbb{R}^{4}. Mostre que o conjunto de vetores \{(1,1,-1,3),(0,1,-2,1),(0,2,1,5)\} é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que os vetores
\;(1,1,-1,3),\;(0,1,-2,1),\;(0,2,1,5)\in\mathbb{R}^4
são linearmente independentes em V=\mathbb{R}^4.
O conteúdo usado será a definição de independência linear: um conjunto é independente se a única combinação linear que produz o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual a zero, introduzindo escalares \alpha,\beta,\gamma:
\alpha\,(1,1,-1,3)\;+\;\beta\,(0,1,-2,1)\;+\;\gamma\,(0,2,1,5) \;=\;(0,0,0,0).

Passo 3

Da igualdade de vetores obtemos o sistema de equações por componentes:
\begin{cases} \alpha = 0,\\\ \alpha + \beta + 2\gamma = 0,\\\\ -\,\alpha -2\beta + \gamma = 0,\\\\ 3\alpha + \beta +5\gamma = 0. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação vem imediatamente
\alpha = 0.
Substituindo em cada uma das demais:
\beta + 2\gamma = 0, \qquad -2\beta + \gamma = 0, \qquad \beta +5\gamma = 0.
Da segunda temos \beta = -2\gamma. Substituindo em -2\beta + \gamma = 0
-2(-2\gamma) + \gamma = 4\gamma + \gamma = 5\gamma = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \gamma = 0.
Então \beta = -2\cdot 0 = 0.

Passo 5

Chegamos à única solução \alpha=\beta=\gamma=0, ou seja, só a combinação trivial anula a soma. Logo, os três vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores (1,1,-1,3), (0,1,-2,1) e (0,2,1,5) são linearmente independentes em \mathbb{R}^4.

Exercícios relacionados